Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

(Cap. 14.2 - Ex. 14) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

x 4 - y 4 x 2 + y 2  

Passo 1

Fala pessoal! Tudo beleza? Bora lá resolver mais uma questão?

Essa questãozinha aqui é daquelas bem típicas de cálculo. O enunciado pede pra gente determinar se o limite existe ou não. Pra isso, a gente vai usar umas regrinhas básicas de cálculo, beleza? Bora lá então!

A função que o enunciado deu pra gente é a seguinte:

f x ,   y = x 4 - y 4 x 2 + y 2

Antes de qualquer coisa, olhando para a função ali dentro do limite, vamos fatorar o numerador da seguinte maneira:

x 4 - y 4 = x 2 - y 2 x 2 + y 2

Portanto:

f x ,   y = x 2 - y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = x 2 + y 2

Isso vai ajudar a gente organizar melhor a função, pra conseguirmos avaliar se o limite existe de fato, ou não.

Passo 2

Depois de reescrevermos a função ali no passo 1, podemos notar algo interessante!

Vemos que f x , y é uma função polinomial e, é portanto, contínua.

Desse modo, podemos substituir diretamente a tendência x ,   y → ( 0 ,   0 ) no limite dado:

x 2 - y 2  

l i m x , y → 0,0 = 0 2 - 0 2 = 0

Portanto, além do limite existir, vemos que ele é zero.

Uhul! Conseguimos!

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma?

Resposta

x 4 - y 4 x 2 + y 2   = 0

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