Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

USP, Cálculo 2, P1 - 2013, Questão 4b

Calcule, caso exista, o limite abaixo. Se existir, explique por quê.

l i m x , y 0,0 x 2 y 3 x 4 - y 6

Passo 1

Beleza, vamos destruir esse limite? Nossa ideia é percorrer essa função por uma curva, de maneira que obtenhamos “mais de um limite” (provando que ele não existe) , ou caiamos em algo bem definido, que independa das variáveis (e então ele poderá existir).

A dica quando se tem esse formato de função é percorrer por uma curva parametrizada de maneira que o grau do parâmetro no numerador seja igual ao no denominador. Isso sugere que escolhamos uma curva parametrizada por σ t = t n , t m . Como no numerador x e y se multiplicam, sabemos que vai ficar algo assim: t n 2 . t m 3 = t 2 n + 3 m .

Mas no denominador, o grau de x não interfere no grau de y . Então, depois de parametrizarmos, vai ficar simplesmente t n 4 - t m 6 . Lembrando do que disse ali em cima, queremos que o grau de cima seja o mesmo grau de baixo. Como o grau do numerador é 2 n + 3 m e os graus do denominador são 4 n e 6 m , temos que a relação entre n e m   é dada por:

2 n + 3 m = 4 n = 6 m

Ou seja, o grau do numerador deve ser igual ao grau do denominador!

Resolvendo 2 n + 3 m = 4 n temos que n = 3 m 2 . Ou seja, podemos escolher qualquer parametrização que tenha essa proporção entre os expoentes de t .

Vamos escolher a mais simples, σ t = t 3 , a t 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Colocando então σ t = t 3 , a t 2 no nosso limite, teremos:

l i m x , y 0,0 x 2 y 3 x 4 - y 6

l i m t 0 t 3 2 a t 2 3 t 3 4 - a t 2 6

l i m t 0 a 3 t 12 t 12 1 - a 6

l i m t 0 a 3 1 - a 6

Passo 3

Pronto!! Acabamos de simplificar ao máximo o nosso limite. Veja que se mudarmos o coeficiente a da componente y da curva parametrizada, teremos sempre limites diferentes!! Isso prova que o limite da função não existe.

Resposta

l i m x , y 0,0 x 2 y 3 x 4 - y 6 não existe

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