Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 29

Considere a função

f x ,   y = 4 x y - 1 2 x 2 + y - 1 2 + 2 x - 1 y x - 1 2 + y 2

para todo x ,   y ≠ 1 ,   0 e x ,   y ≠ 0 ,   1 . O valor do limite lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ f x ,   y é

a) 0 .

b) 1 .

c) 2 .

d) - 1 .

e) inexistente.

Passo 1

Eai pessoal, beleza? Bora tentar calcular esse limite?

Queremos calcular o limite:

lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ 4 x y - 1 2 x 2 + y - 1 2 + 2 x - 1 y x - 1 2 + y 2

Note que quando x → 1 e y → 0 , o primeiro termo tende a

4 x y - 1 2 x 2 + y - 1 2 → 4 ⋅ 1 ⋅ 1 1 + 1 = 4

Quando olhamos para o segundo termo, vemos que ele fica numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Por uma questão de simplicidade, vamos chamar

g x ,   y = 2 x - 1 y x - 1 2 + y 2

Assim,

f x ,   y = 4 x y - 1 2 x 2 + y - 1 2 + g x ,   y

A primeira parte vimos que tende a 4 , e a segunda?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a segunda parte, vamos calcular o limite por caminhos diferentes para ver se ele existe! Olhando apenas para a segunda parte, testemos a curva γ a t = 1 ,   t com t → 0 . Note que

g γ a t = g 1 ,   t = 2 ⋅ 0 ⋅ t 0 2 + t 2 = 0

Portanto,

lim t → 0 ⁡ g γ a t = lim t → 0 ⁡ 0 = 0

Agora vamos testar um caminho y = x - 1 , de modo que γ b t = t + 1 ,   t com t → 0 . Assim,

g γ b t = g t + 1 , t = 2 t ⋅ t t 2 + t 2 = 2 t 2 2 t 2 = 1

Logo,

lim t → 0 ⁡ g γ b t = lim t → 0 ⁡ 1 = 1

Assim, por esses caminhos:

lim t → 0 ⁡ f γ a t = 4 + 0 = 4

lim t → 0 ⁡ f γ b t = 4 + 1 = 5

Para que o limite exista, não importa o caminho, o limite deve ser o mesmo. Se por caminhos diferentes os limtes derem diferentes, isso significa que ele não existe...

Passo 3

Como os limites por caminhos diferentes são diferentes, podemos garantir que ele não existe! Com isso, caímos na alternativa E 😊

Resposta

Alternativa E.

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