Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2017.2, Questão 1

Considere a função

f x , y = x y 2 x 2 + y 4

  1. Determine o domínio de f
  2. Calcule, ou mostre que não existe, o limite de f ( x , y ) quando ( x , y ) tende a ( 0,0 )

Passo 1

a )

Opa, falou em domínio significa que temos que verificar as restrições de f .

Aqui, nossa única restrição é que é uma fração, então o denominador tem que ser diferente de zero.

Assim

x 2 + y 4 0

E isso só acontece quando temos x , y = ( 0,0 ) .

Então, o domínio de f é

D = x , y R 2   ; x , y 0,0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Agora, precisamos calcular ou mostrar que esse limite aí de baixo não existe:

lim x , y 0,0 f ( x , y )

Bom, ele meio que já deu uma dica quando disse “ou mostre que não existe”.

Não sei vocês, mas achei suspeito ele falar isso, então to apostando aqui que ele vai acabar não existindo. Vamos ver então.

lim x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 4

Tentando por simples substituição, chegamos a indeterminação 0 0 .

Passo 3

Beleza, mas observa uma coisinha: o grau do numerador (3) é menor que o grau do denominador (4). Isso é, de fato, um forte indicio de que esse limite não existe. Desse modo, vamos tentar calculá-lo por caminhos.

Por exemplo, através da parábola x = m y 2 :

lim x , y 0,0 x y 2 x 2 + y 4 =   lim x 0 m y 2 y 2 m y 2 2 + y 4 = lim x 0 m y 4 y 4 ( m 2 + 1 ) = m ( m 2 + 1 )

Assim, como esse limite depende do caminho m , então ele não existe.

Resposta

  1. D = x , y R 2   ; x , y 0,0
  2. Não existe.

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