Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2018.1, Questão E7

Considere a função

f x , y = x 3 y x 6 + y 2

Podemos dizer que

a lim x 0 f ( x , m x 3 ) existe e varia com m R .

b lim x 0 f ( x , n x 2 ) existe e varia com n R .

c lim x 0 f x , p x   n ã o   e x i s t e   p a r a   p 0 .

d lim x , y ( 0,0 ) f ( x , y ) = 0

e N e n h m a   d a s   d e m a i s   a f i r m a t i v a s   e s t á   c o r r e t a .

Passo 1

Vamos tentar calcular

lim x , y ( 0,0 ) x 3 y x 6 + y 2

Se tentar simplesmente substituir x , y = ( 0,0 ) vai dar shabu né, vamos ficar com a indeterminação 0 0 .

Beleza, agora, cá entre nós, essa questão é muito estranha. Você reparou que nas opções parece que elas estão dizendo que um limite que depende do caminho pode existir??

Pois é, e parece que elas estão dizendo isso mesmo, mas na verdade, o que elas querem dizer é se o limite de uma função de uma variável existe ou não. Pois, repara que ele coloca só “quando x 0 ”.

Então, o que a gente tem que analisar é se para um valor de m ,   n ou p , se o limite da função de uma variável que se origina por substituirmos y = m x 3 ou y = n x 2 ou y = p x existe ou não...

E na letra d a gente tem o limite de uma função de duas variáveis mesmo.. Aí nesse caso sim a gente precisa ver se calculando por caminhos diferentes, se dá coisas diferentes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pela letra d então.

Primeiro vamos testar o caminho x = 0 :

lim x , y ( 0,0 ) 0 3 y 0 6 + y 2 = 0

Agora o cominho y = x 3 :

lim x , y ( 0,0 ) x 3 x 3 x 6 + x 6 = lim x , y ( 0,0 ) x 6 2 x 6 = 1 2

Viu? Dois caminhos diferentes, dois resultados diferentes, logo, esse limite de duas variáveis não existe.

Passo 3

Show. Agora vamos olhar as outras letras. Lembrando que nas outras opções a gente tem que pensar na nossa função como uma função de uma variável.

Vamos começar pela letra a , tentando calcular o limite

lim x 0 x 3 m x 3 x 6 + ( m x 3 ) 2 = lim x 0 m x 6 x 6 + m 2 x 6 = lim x 0 m x 6 x 6 ( 1 + m 2 ) = m ( 1 + m 2 )

Logo, de fato, pensando em m como uma constante (e não como um caminho diferente), esse limite de uma variável existe e tem valores direfentes conforme os valores de m mudem.

Essa é nossa resposta então, mas vamos olhar só mais uma opção pra gente ver porque as outras opções não poderiam ser verdade.

Passo 4

Vamos calcular o limite

lim x 0 x 3 n x 2 x 6 + ( n x 2 ) 2 = lim x 0 n x 5 x 6 + n 2 x 4 = lim x 0 n x 5 x 4 ( x 2 + n 2 ) = lim x 0 n x ( x 2 + n 2 ) = 0

Então esse limite existe, mas ele não varia conforme varia o valor de n .

O mesmo ocorre para o limite

lim x 0 x 3 p x x 6 + ( p x ) 2 = lim x 0 p x 4 x 6 + p 2 x 2 = lim x 0 p x 4 x 2 ( x 4 + p 2 ) = lim x 0 p x 2 ( x 4 + p 2 ) = 0

Quer dizer, o limite só vai depender do valor da constante, quando o expoente que tiver do x for tal que consigamos igualar os graus do numerador e do denominador. Porque assim da pra cortar x do numerador e x do denominador e nosso limite fica variando apenas com o valor da constante.

Passo 5

Confuso né?

Parece que a UFRJ vacilou com uma questão dessas de limite de uma variável em pleno calculo de várias variáveis .-.

Mas a vida tem dessas né, ainda bem que a gente conseguiu resolver!

Resposta

Letra a

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