Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

USP, Cálculo 2, P1 - 2011, Questão 3b

Decida se existe l i m x , y 0,0 x 3 y 4 + x 5 y 4 3 x 6 + y 8 . Justifique.

Passo 1

Hmm... Não tem trigonométrica na história e tem essa soma no denominador... Tá na cara de que vamos testar uns 3 caminhos e vamos encontrar limites diferentes! Mas relaxa, se isso não der certo, partimos pro teorema do sanduíche :]

Partiu chutar caminho então! Mas calma, vamos “chutar” conscientemente, beleza? Primeiro, tentemos o mais fácil, achar o limite igual a 0 , fazendo o numerador da fração zerar antes do denominador. O caminho t , 0 faz isso, pois temos y em todos os termos do numerador! Então,

l i m t 0 t 3 0 4 + t 5 0 4 3 t 6 + 0 8 = 0 t 6 = 0

Viu? Só escolher o caminho pensando onde queremos chegar é sempre bom ;)

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Passo 2

Assim, pensemos, o que queremos agora? Um limite diferente de 0 ! Então, parece uma boa que o grau do numerador e do denominador seja o mesmo, pois assim, teremos certamente algo diferente de 0 !

Show, vejamos então o que temos: O grau do x no denominador é 6 , e do y é 8 . Então, o menor múltiplo comum é 24 , certo? Agora, olhemos para o numerador: Se colocarmos x = t 4 e y = t 3 , o grau fica 24 para x 3 y 4 ! E na raiz temos o mesmo! Parece que foi por acaso, mas a banca faz isso de propósito hahaha quando isso não acontece, é hora de repensar o que fazer e procurar pelo sanduíche ;)

Beleza, então, partamos para o caminho t 4 , t 3 :

l i m x , y 0,0 t 4 3 t 3 4 + t 4 5 t 3 4 3 t 4 6 + t 3 8 = t 24 + t 24 2 t 24 = 1  

E aí está! O limite deu 1 ! Olha que coisa boa... como previsto, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe, pois encontramos dois limites diferentes!

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