Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

USP, Cálculo 2, P1 - 2017, Questão ME2

Seja

f x , y = x y 2 + x 3 y 6 x 4 + y 8

Então, o limite

lim x , y 0,0 f ( x , y )

  1. Existe e vale 0
  2. Existe e vale 1
  3. Não existe
  4. Existe e vale - 1

Passo 1

Vamos começar fazendo o de sempre?!

Tentando substituir x , y = ( 0,0 ) , temos:

lim x , y 0,0 x y 2 + x 3 y 6 x 4 + y 8 = lim x , y 0,0 0 . 0 2 + 0 3 0 6 0 4 + 0 8 = 0 0

Como já era de se esperar!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bora tentar sair dessa indeterminação então.

Beleza, a primeira coisa é analisar que tanto no numerador quanto no denominador temos x e y com expoentes diferentes, somados. Então, é bem provável que esse limite não existe.

Vamos tentar provar isso calculando por caminhos diferentes.

Começando pelo caminho x = 0 :

lim x , y 0,0 0 y 2 + 0 3 y 6 0 4 + y 8 = lim x , y 0,0 0 y 8 = 0

Passo 3

Agora vamos tentar o caminho x = y 2 :

lim x , y 0,0 y 2 y 2 + ( y 2 ) 3 y 6 ( y 2 ) 4 + y 8 = lim x , y 0,0 y 4 + y 6 y 3 y 8 + y 8 = lim x , y 0,0 y 4 ( 1 + y 5 ) 2 y 8

lim x , y 0,0 y y 2 + y 3 y 6 y 4 + y 8 = lim x , y 0,0 y 4 ( 1 + y 5 ) y 4 2 = lim x , y 0,0 ( 1 + y 5 ) 2 = 1 2

BUÊ BUÊ BUÊ BUÊEEEE!

Calculando o limite por caminhos diferentes, tivemos resultados diferentes, então, esse ,imite, de fato, não existe.

Resposta

L e t r a   c

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