6 . Considere as afirmações a seguir

( I ) Seja f uma função diferencial em R tal que f 0 = - 10 e f 5 = 0 . Então existe c ∈ ( 0,5 ) tal que f ' c = 2 ;

( I I ) Seja f uma função diferencial em R e suponha que existe c ∈ ( 0,5 ) tal que f ' c = 0 . Então f 0 = f ( 5 ) ;

( I I I ) Sejam f e g funções diferenciáveis em R tais que f ' x < g ' ( x ) para todo x ∈ ( 0,5 ) e suponha, além disso, que f 5 > g ( 5 ) . Então f 0 > g ( 0 ) .

Podemos concluir com certeza que:

A : Apenas a afirmação ( I ) é verdadeira.

B : Apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras.

C : Todas as afirmações são verdadeiras.

D : Apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são verdadeiras.

E : Apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Vamos avaliar cada afirmação separadamente e ver se ela é verdadeira ou falsa. Uma coisa que vai nos ajudar é o teorema do valor médio, ele diz o seguinte:

Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

-   f é contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] .

-   f é derivável no intervalo aberto ( a ,   b ) .

Então, existe um número c em ( a ,   b ) tal que

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Vamos usar também o teorema de Rolle, que diz o seguinte:

Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

-   f é contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] .

-   f é derivável no intervalo aberto ( a ,   b ) .

-   f   a = f   ( b )

Então, existe um número c em ( a ,   b ) tal que f ' c = 0 .

Vamos para cima então!

Passo 2

Começando com a primeira afirmação ( I ) .

Nessa afirmação ele diz que f é diferencial logo ela já satisfaz as duas condições do teorema do valor médio, então a gente pode usar ele para achar f ' c , temos:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Usando que a = 0 e b = 5 e substituindo os valores que temos, ficamos com:

f ' c = 0 - ( - 10 ) 5 - 0

⇒ f ' c = 2

Então a ( I ) é verdadeira.

Passo 3

Agora vamos analisar a ( I I ) .

Afirmação se encaixa perfeitamente na situação do teorema de Rolle, só que tem um detalhe, ela usa o resultado do teorema para afirmar que uma das condições é satisfeita, no caso f a = f ( b ) .

Só que isso não é uma via de mão dupla, não é só porque uma função tem uma característica igual a do resultado que ela satisfaz todas as condições do teorema, mas uma função que satisfaz todas as condições do teorema vai ter o mesmo resultado.

Então essa afirmação é falsa.

Passo 4

Vamos avaliar agora a ( I I I ) .

Essa afirmação nos diz algumas coisas sobre as funções f e g e fala que f 0 > g ( 0 ) , pra a gente ver se isso é verdade ou não vamos aplicar o teorema do valor médio para cada função.

Sabemos que   f ' x < g ' ( x ) para todo x ∈ ( 0,5 ) , então isso é verdade para qualquer x = c que pegarmos nesse intervalo, então:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

⇒ f ' c = f 5 - f ( 0 ) 5 - 0 = f 5 - f ( 0 ) 5

E para g , temos:

g ' c = g b - g ( a ) b - a

⇒ g ' c = g 5 - g ( 0 ) 5 - 0 = g 5 - g ( 0 ) 5

Passo 5

Agora vamos usar o fato de que f ' x < g ' ( x ) , então:

f 5 - f ( 0 ) 5 < g 5 - g ( 0 ) 5

⇒ f 5 - f 0 < g 5 - g ( 0 )

Da afirmação a gente sabe que f 5 > g ( 5 ) , então para o que encontramos ser verdadeiro temos que:

f 0 > g ( 0 )

Então a ( I I I ) está correta.

Logo a alternativa certa é a letra B .

Resposta

B : Apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras.

Exercícios de Livros Relacionados

Um objeto é lançado para cima com velocidade inicial v 0 metros por segundo a partir de um ponto s 0 metros acima do solo. Mostre que v t 2 = v 0 2 - 19,6 [ s t - s 0 ]
Se uma pedra for atirada verticalmente para cima sobre a superfície da Lua com uma velocidade de 10 m / s , sua altura (em metros) após t segundos será h = 10 t - 0,83 t 2 Qual a velocidade da pedra a
Em que ponto o gráfico da função y = 1 3 x 3 - 3 2 x 2 + 2 x tem tangente horizontal?. Esboçar o gráfico e analisar o resultado obtido.
Derive a função:29 u = t 5 + 4 t 5
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função: G r = r + r 3