Encontre as derivadas das seguintes funções

f x = x - 2 s e n x + x 2 t g x + s e n x c o s ⁡ ( x )

Passo 1

E aí, galerinha! Agora a gente tem ali um polinômio também, porém começou a aparecer as funções trigonométricas que vou te falar, eu NUNCA sei qual é a derivada de t g ( x ) e muito menos de c o t g ( x ) , mas sabe o que eu faço SEMPRE? Eu abro esses carinhas em seno e cossenos, porque as derivadas desses dois caras sim, eu conheço!!!

Então por exemplo,

c o t g x = 1 t g x = 1 s e n x cos ⁡ x = cos ⁡ x s e n x

Além disso, note que vamos precisar fazer regra do produto e quociente nesse rolê de derivar f ( x ) , então para não embolar vamos fazer isso tudo por partes!!

f x = x - 2 s e n x ⏟ I + x 2 t g x ⏟ I I + s e n x c o s ⁡ ( x ⏟ I I I )

Passo 2

Vamos chamar f x = P x M x e fazer a parte I de f x

E assim, temos que: f ' x = P ' x M x + P x M ' ( x )

Porém perceba que vamos chamar P x = ( x - 2 ) e M x = s e n ( x )

Logo, temos que:

P ' x = 1

M ' x = cos ⁡ x

Assim, a parte I tem como resultado:

d d x x - 2 s e n x = 1 s e n x + x - 2 cos ⁡ x

Passo 3

Vamos chamar f x = P x M x para a parte II

E assim, temos que: f ' x = P ' x M x + P x M ' ( x )

Lembrando que t g x = s e n ( x ) / cos ⁡ x

Porém perceba que vamos chamar P x = x 2 e M x = s e n ( x ) / cos ⁡ x e com isso quando formos derivar M ' ( x ) vamos ter que aplicar a regra do quociente, beleza?

Então pela regra do quociente temos:

M ' x = cos ⁡ x cos ⁡ x + s e n x s e n ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) = 1 cos 2 ⁡ ( x )

Como P x = x 2 → P ' x = 2 x

E assim, temos que: f ' x = P ' x M x + P x M ' ( x )

d d x x 2 t g x = 2 x t g x + x 2 cos 2 ⁡ x

Lembrando que s e c x = 1 / c o s ⁡ ( x ) , temos:

P a r t e   I I = 2 x   t g x + x 2 sec 2 ⁡ ( x )

Passo 4

Vamos chamar f x = P x M x para a parte III

E assim, temos que: f ' x = P ' x M x + P x M ' ( x )

P x = s e n x → P ' x = c o s ⁡ ( x )

M x = cos ⁡ x → M ' x = - s e n ( x )

Logo,

p a r t e   I I I = cos ⁡ x cos ⁡ x + s e n x - s e n x

P a r t e   I I I = cos 2 ⁡ x - s e n 2 x

A derivada da soma é a soma das derivadas, logo

f ' x = p a r t e   I + p a r t e   I I + p a r t e   I I I

f ' x = s e n x + x - 2 cos ⁡ x + 2 x   t g x + x 2 sec 2 ⁡ ( x ) + cos 2 ⁡ x - s e n 2 x

Resposta

f ' x = s e n x + x - 2 cos ⁡ x + 2 x   t g x + x 2 sec 2 ⁡ ( x ) + cos 2 ⁡ x - s e n 2 x

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