Considere a função logarítmica f x = log a ⁡ x , em que a > 0 e a ≠ 1 .

  1. Mostre que
  2. lim y → y 0 ⁡ y - y 0 a y - a y 0 = 1 ln ⁡ a a y 0

  3. Mostre que para x , x 0 > 0 temos f x - f ( x 0 ) x - x 0 = y - y 0 a y - a y 0 , em que y = log a ⁡ x e y 0 = log a ⁡ x 0 .
  4. Mostre que f ' x = 1 ln ⁡ a a y 0
  5. O que acontece com a derivada quando a = e , isto é, quando a função é f x = ln ⁡ x ?

Passo 1

E aí pessoal, tudo belezinha?

Esse problema parece complicado, mas vou ajudar você aqui! Bora lá? Temos uma função

f x = log a ⁡ x

E os itens que seguem são referentes a essa função!

Então a ideia é usar ela e ir mostrando o que o problema pede. Sempre começando pelo lado esquerdo da igualdade, e ir manipulando a ponto de chegar no resultado que ele pede!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora começar?

Passo 2

Letra (a): nesse primeiro item o problema pede para mostrarmos a seguinte igualdade

lim y → y 0 ⁡ y - y 0 a y - a y 0 = 1 ln ⁡ a a y 0

Como resolver esse limite? Aqui vai um #ATERTATRUQUESUJO

vamos fazer uma mudança de variáveis! Chamando

z = y - y 0

Nosso limite fica com y = z + y 0 :

lim y → y 0 ⁡ y - y 0 a y - a y 0 = lim z → 0 ⁡ z a y 0 + y - a y 0

Tudo bem até aqui? E agora? Agora vamos colocar em evidência no denominador a y 0

lim z → 0 ⁡ z a y 0 + y - a y 0 = lim z → 0 ⁡ 1 a y 0 .   z a y - 1

Olha só! Sente a maldade! Lembra dos limites fundamentais envolvendo exponenciais e logaritmos? Esse aqui você precisa ter na ponta da língua!

Você vê semelhança com o nosso limite e com o limite ali do meio?

É exatamente ele que vamos usar! Como 1 a y 0 independe de z , pode sair do limite

lim z → 0 ⁡ 1 a y 0 .   z a y - 1 = 1 a y 0 lim z → 0 ⁡   z a y - 1 ⏝ = ln ⁡ a - 1 = ln ⁡ a - 1 a y 0 = 1 a y 0 ln ⁡ a

E é exatamente essa expressão que o problema pede para mostrarmos! Assim demonstramos que

lim y → y 0 ⁡ y - y 0 a y - a y 0 = 1 a y 0 ln ⁡ a

Tranquilo? Vamos para o item (b)?

Passo 3

Letra (b): Agora o problema pede para mostrar que para x , x 0 > 0 supondo que y = log a ⁡ x e y 0 = log a ⁡ x 0 temos:

f x - f ( x 0 ) x - x 0 = y - y 0 a y - a y 0

Para resolver questões de demonstração eu já comentei, mas não custa nada repetir: precisamos partir da expressão do lado esquerdo, substituir o que é preciso e ir manipulando até chegar no outro lado!

Então saindo de y = log a ⁡ x e y 0 = log a ⁡ x 0 , isolando x 0 e x aplicando a definição de logaritmo temos

y = log a ⁡ x → a y = x

y 0 = log a ⁡ x 0 → a y 0 = x 0

Beleza? Agora é só substituir na expressão do lado esquerdo da igualdade, lembrando que f x = y = log a ⁡ x e f x 0 = y 0 = log a ⁡ x 0 :

f x - f ( x 0 ) x - x 0 = log a ⁡ x - log a ⁡ x 0 a y - a y 0 = y - y 0 a y - a y 0

Chegamos exatamente aonde o problema queria!

Beleza? Vamos para o terceiro item?

Passo 4

Letra (c): agora vem a derivada! Precisamos mostrar que

f ' x = 1 ln ⁡ a a y 0

Primeiramente vamos lembrar da definição de derivada através do limite

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f ( x 0 ) x - x 0

f x = log a x , e essa razão que está dentro do limite é a mesma que calculamos no passo anterior!

Vou resgatar de lá o resultado

f x - f ( x 0 ) x - x 0 = y - y 0 a y - a y 0

Assim nosso limite fica

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f ( x 0 ) x - x 0 = lim y → y 0 ⁡ y - y 0 a y - a y 0

E agora? Agora você se lembra lá do passo 2 quando mostramos

lim y → y 0 ⁡ y - y 0 a y - a y 0 = 1 ln ⁡ a a y 0

Mas sabemos também do passo anterior que que x 0 = a y 0

Então, na verdade, já mostramos a derivada do logaritmo!

f ' x 0 = 1 ln ⁡ a x 0

E para um x qualquer

f ' x = 1 ln ⁡ a x

Ufa! Estamos quase lá!

Passo 5

Letra (d): agora o problema nos pergunta o que acontece com a derivada quando a base da função exponencial é o " e " ? ou seja

f x = ln ⁡ x

Vamos substituir na nossa recém demonstrada fórmula de derivada!

f ' x = 1 ln ⁡ a x

Agora temos que a = e :

f ' x = 1 ln ⁡ e x

Mas sabemos que ln ⁡ e = 1 , aí a derivada é igual à função!

f ' x = 1 x

E a partir de agora você pode usar a fórmula de derivada de função logarítmica tanto de base e quanto de base qualquer a !

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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