Enunciado

Considere a função exponencial f x = a x , em que a > 0 e a ≠ 1 .

  1. Mostre que
  2. f x + h - f ( x ) h = a h - 1 h . a x

  3. Mostre que f ' x = ln ⁡ a a x
  4. O que acontece com a derivada quando a = e , isto é, quando a função é f x = e x ?

Passo 1

Oi, tudo bem?

Esse problema parece complicado, mas vou ajudar você aqui! Bora lá? Temos uma função

f x = a x

E os itens que seguem são referentes a essa função!

Então a ideia é usar ela e ir mostrando o que o problema pede. Sempre começando pelo lado esquerdo da igualdade, e ir manipulando a ponto de chegar no resultado que ele pede!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora começar?

Passo 2

Letra (a): nesse primeiro item o problema pede para mostrarmos a seguinte igualdade

f x + h - f ( x ) h = a h - 1 h . a x

Já sabemos que a função

f x = a x

Então precisamos calcular f ( x + h ) :

f x + h = a x + h = a x . a h

Beleza? E agora? Agora é substituir no lado esquerdo e ir manipulando!

f x + h - f ( x ) h = a x a h - a x h = a x ( a h - 1 ) h

Olha só!

É exatamente o que temos de mostrar!

Tranquilo? Vamos para o item (b)?

Passo 3

Letra (b): Agora vamos para a derivada! O problema pede para mostrarmos que

f ' x = ln ⁡ a a x

Mas vamos primeiro relembrar como calculamos a derivada através de limite

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Mas olha que legal: já encontramos uma forma alternativa de escrever aquela razão! E é essa forma que vamos usar! Da letra (a) mostramos que

f x + h - f ( x ) h = a h - 1 h . a x

Aí nosso limite fica assim

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ a h - 1 h . a x

E agora? Temos que a x não depende de h e portanto pode sair para fora do limite

lim h → 0 ⁡ a h - 1 h . a x = a x lim h → 0 ⁡ a h - 1 h

Beleza?

Agora vem nosso truque sujo: limite fundamental! Esses aqui são os limites fundamentais que você precisa lembrar (pra toda vida!)

E é o segundo que vamos aplicar aqui! Nosso limite é

a x lim h → 0 ⁡ a h - 1 h

E no nosso caso u → h , e aí o resultado do limite fica assim

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h a x lim h → 0 ⁡ a h - 1 h ⏝ = ln ⁡ a = a x ln ⁡ a

Assim temos que a derivada da nossa função exponencial é

f ' x = a x ln ⁡ a

Beleza? Vamos para o último termo?

Passo 4

Letra (c): agora o problema nos pergunta o que acontece com a derivada quando a base da função exponencial é o " e " ? ou seja

f x = e x

Vamos substituir na nossa recém demonstrada fórmula de derivada!

f ' x = a x ln ⁡ a

Agora temos que a = e :

f ' x = e x . ln ⁡ e

Mas sabemos que ln ⁡ e = 1 , aí a derivada é igual à função!

f ' x = e x

E a partir de agora você pode usar a fórmula de derivada de função exponencial tanto de base e quanto de base qualquer a !

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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