Determine c para que a função f x = x 3 + 3 x 2 - 9 x + c tenha uma única raiz real.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar c para que a função f x = x 3 + 3 x 2 - 9 x + c tenha uma única raiz real.

Mas como podemos fazer isso?

Bom.. para isso, precisamos derivar a função e usar o Teorema do Valor Intermediário.

Vamo lá??? Bora junto!! 😉

Passo 2

Bom... primeiro vamos ter que achar f ' x , assim, fazendo a derivada, temos:

f ' x = 3 x 2 + 6 x - 9

Agora, vamos fazer f ' x = 0 para analisarmos a função:

3 x 2 + 6 x - 9 = 0

Sabemos que essa função quadrática possui duas raízes:

x = 1

x = - 3

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal das duas expressões:

f 1 = 1 3 + 3 1 2 - 9 1 + c ∴

f 1 = - 5 + a

E, por outro lado:

f 3 = 3 3 + 3 3 2 - 9 3 + c ∴

f 3 = 27 + c

Passo 4

Temos, pelo Teorema do Valor Intermediário que se f é contínua sobre o intervalo fechado a , b e L é um número real tal que f a < L < f b ou f b < L < f a então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que f c = L . Logo:

- 5 + a > 0 ∴

a > 5

E

27 + a < 0 ∴

a < - 27

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

a > 5 ou a < - 27

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