A posição de uma partícula sobre uma linha reta graduada em metros no instante t segundos é dada por s t = t 3 - 6 t 2 + 9 t

  1. Determine v t
  2. Determine a t
  3. Em quais instantes a partícula está em repouso?
  4. Quando a partícula está se movendo para frente? E quando está se movendo para trás?
  5. Qual é o deslocamento da partícula entre os instantes 0 e 5 s ?
  6. Qual é a distância percorrida pela partícula entre os instantes 0 e 5s?
  7. Para que valores de t tem-se a t = 0 ? Para quais valores de t tem-se a t < 0 ? Para quais valores de t tem-se a t > 0 ?
  8. Quando a partícula está acelerando ou freando?

Passo 1

E aí gente, tudo bem? Então, essa questão traz pra gente uma perspectiva muito legal sobre o que é derivada, porque iremos observar o sentindo físico de cada derivada.

Bem, o enunciado nos deu a posição da partícula em função do tempo, e sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Em matemática isso é:

v t = d s t d t

a t = d v t d t

Passo 2

Vamos então encontrar v ( t ) e a ( t ) , ou seja, a letra (a) e (b), respectivamente.

v t = 3 t 2 - 12 t + 9

a t = 6 t - 12

Passo 3

(c) A partir de agora, basicamente acabou cálculo e vamos usar conceitos de física (cinemática). Quando uma partícula está em repouso? Quando sua velocidade é zero, ou seja, v t = 0

3 t 2 - 12 t + 9 = 0

Dividindo por 3 todo mundo, temos:

t 2 - 4 t + 3 = 0

As raízes dessa equação são os tempos que zeram essa equação, ou seja, em t = 1 e 3s, a partícula está em repouso.

Passo 4

(d) Quando a partícula estará se movimentando pra frente e quando ela estará se movimentando pra trás? Bem, uma das formas pra gente saber isso é lembrar que velocidade é uma grandeza vetorial. Então quando ela tiver sinal negativo, indica que ela está oposta a direção da trajetória, em outras palavras, está pra trás. E quando positivo, está pra frente.

v t > 0

v t < 0

v t = t 2 - 4 t + 3 > 0

Já resolvemos essa equação e vimos que as raízes eram 1   e   3 . Logo,

t - 1 t - 3 > 0

Para que isso aconteça, t precisa ser maior que 1 e maior que 3 ao mesmo tempo, ou seja, t > 3 de forma geral.

O contrário seria:

v t = t 2 - 4 t + 3 < 0

t - 1 t - 3 < 0

Ou seja, t < 1 para a partícula andar pra trás.

Passo 5

(e) Qual é o deslocamento da partícula entre os instantes 0 e 5 s?

Bem, sabemos que s t = t 3 - 6 t 2 + 9 t

Logo, quando t = 0 , a partícula estará em s t = 0 , ou seja, no ponto inicial. E quando t = 5 , teremos:

s 5 = 5 3 - 6 5 2 + 9 5 = 20 m

(f) A distância percorrida vai ser a diferença entre s 5 e s 0

Ou seja,

s 5 - s 0 = 20 - 0 = 20

Passo 6

(g) e (h), podem ser respondidas juntas, pois a partícula estará acelerando quando tivermos a aceleração positiva e desacelerando quando for negativa. E quando tivermos a aceleração igual a zero, é porque estamos em um movimento retilíneo uniforme, certo?

a t = 0

6 t - 12 = 0

t = 2 s

a t > 0

6 t - 12 > 0

t > 2 s

a t < 0

6 t - 12 < 0

t < 2 s

Resposta

  1. 3 t 2 - 12 t + 9
  2. 6 t - 12
  3. 1s e 3s
  4. t > 3 e t
  5. 0 e 20m
  6. 20m
  7. t = 2s, t >2s, t
  8. t >2s e t

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