Suponha que a relação entre o comprimento L, em metros, e o peso P, em kg, de um determinado peixe seja dada por P L = 10 L 3 .   Suponha ainda que a taxa de variação do comprimento e, relação ao tempo, dado em anos, satisfaz a equação:

d d t L T = 0,2 2 - L t

  1. Determine o comprimento do peixe de no caso em que P = 20 k g
  2. Determine a taxa de variação do peso em relação ao tempo
  3. Use os itens anteriores para determinar a taxa de variação do peso do peixe, em relação ao tempo, para um peixe de 20 kg

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Essa questão, por se uma questão que dependente de seus itens, ou seja, que por exemplo o item b depende do a ou outra ordem, então nós temos que ser assertivos sobre nossa resposta. Eu sei você vai tira de letra isso, eu só estarei aqui para te guiar. Bora lá?!

Para a)

Bom, a questão nos dá o peso em função do comprimento, isto é:

P L = 10 L 3

E nos pede o valor de L quando P=20, assim:

20 = 10 L 3 → L 3 = 2 → L = 2 1 3

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

A questão nos pede para fazermos a derivada do peso em relação ao tempo, isto é:

d d t P

Mas o peso depende do comprimento, assim:

d d t P L

Mas também nos foi dado que o comprimento depende do tempo, assim:

d d t P L t

Bom, agora vamos substituir o peso:

d d t P L t = d d t 10 L 3 = d d t 10 L t 3

Bom, nós não temos o valor de L(t), mas temos a derivada d d t L t que é no fundo o que nos importa. Usando a regra da cadeia então:

d d t 10 L t 3 = 10 3 L 2 ( d d t L t

Ou seja, derivamos L e a função de L que depende de t. substituindo d d t L t que nos foi dado:

10 3 L 2 0,2 2 - L t = 6 L 2 2 - L t

Então resumindo:

d d t P L t = 6 L 2 2 - L t

Passo 3

Para c)

Agora vem o passo mais simples que é só substituir os valores, também não acha?!

Temos:

d d t P L t = 6 L 2 2 - L t

É nos dado para calcular a taxa de variação do peso com relação ao tempo. Bom, sabemos que o tempo depende do comprimento L. Então deveríamos calcula ro comprimento quando o peso é 20kg, mas nós já fizemos isso no passo 1, certo?! E sabemos que quando o peso é 20 kg o comprimento L vale 2 1 3 . Assim substituindo L = 2 1 3 , temos:

d d t P L t = 6 L 2 2 - L t = 6 2 1 3 2 2 - 2 1 3 = 6 * 2 2 3 * 2 - 2 1 3

Resumindo:

d d t P L t = 6 * 2 2 3 * 2 - 2 1 3

E chegamos ao fim, carinha. Obrigado por ter vindo até aqui.

Resposta

Para a)

L = 2 1 3

Para b)

d d t P L t = 6 L 2 2 - L t

Para c)

d d t P L t = 6 * 2 2 3 * 2 - 2 1 3

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