Encontre os valores de λ para os quais y = e λ x satisfaz a equação y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0

Passo 1

Vamos lá, essa questão quando a gente inicia a leitura dela parece algo absurdamente tenso que devemos fazer, mas calmaaaaa!! Você vai ver que a gente vai tirar isso de letra. O problema pede pra gente encontrar os valores de gama que satisfaçam a equação diferencial ali do lado, que se você perceber tem uma derivada segunda de y, uma derivada primeira e a própria função de y.

Em outras palavras, a gente vai calcular as derivadas da função y e depois substituir na equação e obter o valor de λ .

Passo 2

Nossa função é y = e λ x

y ' = d d x λ x e λ x

y ' = λ e λ x

Fazendo a derivada segunda, temos:

y ' ' = λ d d x λ x e λ x = λ 2 e λ x

Passo 3

Substituindo na equação, a gente tem:

λ 2 e λ x - 3 λ e λ x - 2 e λ x = 0

Vamos isolar o e λ x

e λ x λ 2 - 3 λ - 2 = 0

λ 2 - 3 λ - 2 = 0

Aplicando nosso lindo báskarah

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = 3 ± 9 - 4 ( 1 ) ( - 2 ) 2 = 3 ± 17 2

λ 1 = 3 + 17 2

λ 2 = 3 - 17 2

Resposta

λ 1 = 3 + 17 2

λ 2 = 3 - 17 2

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