Nas videoaulas, você viu as primeiras regras de derivação (veja quadros abaixo com três possíveis escritas). Sejam u e v funções de x e c um número real.

Utilize essa tabela e a tabela da lista de exercícios 2.5 na resolução dos exercícios.

Determine a derivada das funções abaixo.

b )   f x = tan ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O exercício nos deu essa função aqui

f x = tan ⁡ x

E pediu para encontrarmos a sua derivada! Mas com duas ajudas. A primeira é essa tabela aqui

Com várias regras de derivadas! Essa tabela serve para identificarmos quando nossa função pode ser escrita como um produto/quociente/soma/subtração de outras duas (ou mais) funções! Super útil!

E a segunda é a tabela do exercício 2.5, vou resgatar ela para você:

Então, uma fez identificado como nossa função pode ser reescrita, vamos identificar a derivada das principais funções com essa segunda tabela! E aí é só substituir tudo!

Mas relaxa! Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Nossa função é:

f x = tan ⁡ x

Sabemos que a tangente pode ser escrita como a razão entre o seno e o cosseno:

tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x

Sendo assim, para derivar essa parte vamos usar a fórmula da quarta linha da primeira tabela, essa aqui

f x = u v → f ' x = u ' v - v ' u v 2

Identificamos que

u = sin ⁡ x

v = cos ⁡ x

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos derivar u e v : u e v são as funções seno e cosseno. Como essas duas fórmulas estão na segunda tabela é só consultar! Vamos usar a segunda linha da segunda tabela, essa aqui:

f x = sin ⁡ x → f ' x = cos ⁡ x

f x = cos ⁡ x → f ' x = - sin ⁡ x

Aí temos

u = sin ⁡ x → u ' = cos ⁡ x

v = cos ⁡ x → v ' = - sin ⁡ x

Beleza?

Passo 4

Agora vamos substituir tudo na derivada do quociente!

Recapitulando nossa função:

f x = sin ⁡ x cos ⁡ x

E a regra do quociente

f ' x = u ' v - v ' u v 2

Do passo anterior:

u = sin ⁡ x → u ' = cos ⁡ x

v = cos ⁡ x → v ' = - sin ⁡ x

Agora #partiu substituir:

f ' x = ( cos ⁡ x ) cos ⁡ x - ( - sin ⁡ x ) ( sin ⁡ x ) cos ⁡ x 2 = cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

E agora? Deixamos assim? Não! Podemos usar a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , e deixar na forma em que usualmente encontramos em tabelas a derivada da tangente:

f ' x = cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

E taí nosso resultado! Pode anotar e usar a vontade em outras questões!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

f ' x = sec 2 ⁡ x

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