Exercícios Resolvidos de Propriedades de Derivadas

Regras de Derivação II

Considere f a função definida pelo gráfico abaixo, r a reta tangente ao gráfico da f em x = 1 e s a reta tangente ao gráfico de g x = f x - 1 - 1 em x = 2 .

Determine:

( a ) A equação das retas r e s

( b ) f ' 1

( c ) g 2

Passo 1

( a ) O objetivo é descobrir a equação das duas retas que passam tangentes a f ( x ) em 1 e a g ( x ) em 2 . Antes de desenvolver mais, repara que elas (retas r e s ) parecem ter a mesma inclinação. De fato elas têm! Sabe por que? Repara:

g x = f x - 1 - 1

Se usarmos x = 2 :

g 2 = f 2 - 1 - 1

g 2 = f 1 - 1

No fim das contas notamos que o g ( 2 ) é simplesmente f ( 1 ) deslocado uma unidade para baixo. Concluímos que a curvatura da função no ponto será a mesma. Isso significa que a derivada f ' ( 1 ) é igual a g ' 2 o que faz com que as retas tangentes aos gráficos nesses pontos tenham os mesmos coeficientes angulares. Enfim, elas têm a mesma inclinação, a reta r e s .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos pensar propriamente nas retas. A reta r toca o eixo y no 2 e a reta s toca o eixo y em 1 3 . Esses são seus respectivos coeficientes lineares. Vou chamar seus coeficientes angulares, como ainda não os conheço, de m :

r :   m x + 2     ;   s : m x + 1 3

Mas a gente sabe que r passa no ponto 1 , f 1 e s no ponto 2 , g 2 . Vamos substituir isso nas equações:

m 1 + 2 = f ( 1 )

m 2 + 1 3 = g ( 2 )

O detalhe é que sabemos que

g 2 = f 1 - 1

Agora é só resolver!

Passo 3

m + 2 = f ( 1 ) 2 m + 1 3 = g ( 2 ) g 2 = f 1 - 1

2 m + 1 3 = m + 2 - 1

m = 2 3

Logo, temos

r :     2 3 x + 2     ;   s :     2 3 x + 1 3

Passo 4

( b ) Para descobrir f ' 1 temos que lembrar que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico num ponto vale a sua derivada. Ou seja, f ' 1 = m

f ' 1 = 2 3

Passo 5

( c ) Para descobrir g ( 2 ) basta voltar ao sistema que usamos para resolver as retas:

2 m + 1 3 = g ( 2 )

2 2 3 + 1 3 = g 2

g 2 = 5 3

Resposta

a   r :     2 3 x + 2     ;   s :     2 3 x + 1 3

b   f ' 1 = 2 3

c   g 2 = 5 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas