4. Sabe-se que a reta y = 10 x - 12 é tangente ao gráfico da função f x = x 3 3 + 2 x 2 + 14 x + d . Determine d .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função e a equação da sua reta tangente. E o problema nos pediu para achar um dos termos da nossa função.

Para responder essa pergunta, temos que lembrar primeiro como é a cara da equação da reta tangente:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde, x 0 e y 0 são as coordenadas do ponto que a reta tangente passa e y ' x 0 é a derivada no ponto.

Então vamos começar achando essa derivada!

Passo 2

Derivando a nossa f x , vamos usar a regra do polinômio, que diz:

f x = x n → f ' x = n x n - 1

Com isso, a nossa derivada fica assim:

f ' x = 1 3 3 x 3 - 1 + 2 2 x 2 - 1 + 14 1 x 1 - 1 + 0

f ' x = x 2 + 4 x + 14

Substituindo o nosso x 0 ficamos com

y ' x 0 = x 0 2 + 4 x 0 + 14

Além da nossa derivada, precisamos achar o nosso y 0 . E fazemos isso, substituindo x 0 na função:

y 0 = x 0 3 3 + 2 x 0 2 + 14 x 0 + d

Agora podemos substituir tudo na equação da reta tangente!

Passo 3

Substituindo tudo, ficamos com

y - x 0 3 3 + 2 x 0 2 + 14 x 0 + d = x 0 2 + 4 x 0 + 14 x - x 0

Ajeitando,

y - x 0 3 3 - 2 x 0 2 - 14 x 0 - d = x x 0 2 + 4 x 0 + 14 - x 0 3 - 4 x 2 - 14 x 0

Isolando y

y = x x 0 2 + 4 x 0 + 14 - x 0 3 - 4 x 2 - 14 x 0 + x 0 3 3 + 2 x 0 2 + 14 x 0 + d

y = x x 0 2 + 4 x 0 + 14 - 2 3 x 0 3 - 2 x 0 2 + d

Agora podemos comparar essa equação com a equação nos fornecidada!

Passo 4

O enunciado nos forneceu a seguinte equação da reta tangente,

y = 10 x - 12

Comparando com a nossa equação da reta tangente, podemos igualar os coeficientes angulares e lineares.

Com isso, teremos:

10 = x 0 2 + 4 x 0 + 14

E

- 12 = - 2 3 x 0 3 - 2 x 0 2 + d

Repara que a equação que tem d (que é o termo que queremos achar) também depende de x 0 . Então vamos primeiro achar quem é x 0 .

Passo 5

Pelo equação,

10 = x 0 2 + 4 x 0 + 14

Podemos achar x 0

x 0 2 + 4 x 0 + 14 - 10 = 0

x 0 2 + 4 x 0 + 4 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau ficamos com

x 0 = - 2

Agora podemos encontrar d .

Passo 6

Tinhamos que

- 12 = - 2 3 x 0 3 - 2 x 0 2 + d

Substituindo x 0 = - 2 na equação, ficamos com

- 12 = - 2 3 - 2 3 - 2 - 2 2 + d

- 12 = 16 3 - 8 + d

d = 28 3

Resposta

d = 28 3

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