Exercícios Resolvidos de Propriedades de Derivadas

Introdução às Derivadas

Considere f e g funções definidas pelos gráficos abaixo. Sabendo que r é tangente ao gráfico da f e ao da g em x = 3 , e que r corta os eixos nos pontos indicados, faça um esboço, no mesmo par de eixos, do gráfico das derivadas f ' e g ' .

Passo 1

Antes de pensar no gráfico em si da função eu vou tentar achar a equação daquela reta, de onde eu tiro o coeficiente angular e posso dizer que ele será igual às derivadas de f e g em 3 .

y = a x + b → P a s s a   e m   3,0   e   ( 0 , - 6 )

0 = 3 a + b   ;   - 6 = b

a = 2 ; b = - 6

y = 2 x - 6

Logo, concluo que o coeficiente angular 2 = f ' 3 = g ' 3 :

Além disso, ambas derivadas são nulas no 1 , como vemos no desenho que as retas tangentes aos gráficos em x = 1 são paralelas a 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos concentrar agora na parte onde não temos valores. Sabemos que onde o gráfico cresce a derivada é positiva. Onde decresce ela é negativa. Vou esboçar umas regiões de crescimento e decrescimento para você:

Até 1 as duas derivadas são negativas. A partir daí, positivas. Agora, repara naquele pequeno que eu botei ali no fim, o gráfico g volta a decrescer a partir daí, um pouco à frente de x = 3 . f continua crescendo. Agora podemos propriamente esboçar o crescimento e decrescimento:

Passo 3

Agora podemos propriamente esboçar o crescimento e decrescimento das derivadas:

Esclarecendo uma coisa mais: Eu não faço ideia de como é o desenho do gráfico, a única coisa que eu sei é que f ' 1 = g ' 1 = 0 , f ' 3 = g ' 3 = 2 e os intervalos de crescimento e decrescimento. O resto vai na criatividade.

Resposta

( F i g u r a   a c i m a )

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