Sejam f uma função quadrática e r a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 6,6 ) . Sabendo que f e r se intersectam o eixo y nos pontos ( 0,18 ) e ( 0 , - 18 ) respectivamente, determine f ( - 1 )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema disse que temos uma função quadrática f e sua reta tangente r no ponto ( 6,6 ) , então vamos traduzir isso:

f x = a x 2 + b x + c

r :   y - y 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Aqui temos que ( 6,6 ) é o ponto onde da reta tangente ao gráfico de f ! Então

x 0 , y 0 = ( 6,6 )

Beleza até aqui?

y no ponto ( 0,18 ) , então esse ponto pertence à f ! Assim como a reta tangente cruza o eixo y em ( 0 , - 18 ) , então esse ponto pertence à r !

Então a ideia é usar essas informações todas para encontrar os coeficientes a , b , c da função quadrática!

Sabendo a cara que ela tem, fica supertranquilo calcular f ( - 1 ) , que é nosso objetivo principal!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para a função quadrática

f x = a x 2 + b x + c

Sabemos que o ponto que ela cruza o eixo vertical: ( 0,18 ) , então daqui já tiramos o valor do termo independente

f 0 = a . 0 2 + b . 0 + c = 18 → c = 18

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos olhar com carinho para nossa equação da reta tangente:

y - y 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Sabemos o ponto em que a reta é tangente ao gráfico: ( 6,6 )

Então substituindo temos

y - 6 = f ' ( 6 ) ( x - 6 )

Tudo bem até aqui?

Mas sabemos de mais um outro detalhe: sabemos que essa reta corta o eixo y no ponto ( 0 , - 18 ) ! Então esse ponto pertence a essa reta:

- 18 - 6 = f ' ( 6 ) ( 0 - 6 )

- 6 . f ' 6 = - 24

f ' 6 = - 24 - 6 = 4

Olha que legal: encontramos o valor da derivada da função quadrática no ponto x = 6 !

f ' 6 = 4

vamos guardar esse resultado!

Passo 4

Agora vamos lembrar qual é a cara da nossa função quadrática, lá do passo 2:

f x = a x 2 + b x + 18

Bom, sabemos que o ponto em que a reta é tangente ao gráfico de f é ( 6,6 ) , então esse ponto também pertence à f :

f 6 = a . 6 2 + b . 6 + 18 = 6

E assim ficamos com uma equação envolvendo a e b :

36 a + 6 b = - 12   ÷ 6

6 a + b = - 2

Beleza?

Sabe aquele resultado que guardamos do passo anterior? Da derivada? Vamos usar agora! Qual é a derivada de f ? Não sei, mas ela é uma função quadrática, então podemos derivar e deixar em função de a e b :

f x = a x 2 + b x + 18

f ' x = 2 a x + b

E agora vem aquele nosso resultado: sabemos que f ' 6 = 4 , aí é só substituir

f ' 6 = 2 a . 6 + b = 4

12 a + b = 4

a ,   b ! Sendo assim montamos o seguinte sistema:

6 a + b = - 2 12 a + b = 4

Nossa missão agora é resolver esse sistema!

Passo 5

Temos o seguinte sistema

6 a + b = - 2   ( 1 ) 12 a + b = 4   ( 2 )

Podemos eliminar o coeficiente b se subtrairmos a segunda da primeira equação (mas aqui você é livre para resolver do modo que for mais confortável! Existem diversas formas de encontrar a e b ! Testa uma diferente da minha e confere o resultado!):

Fazendo 2 - ( 1 ) :

6 a = 4 + 2

6 a = 6 → a = 1

E agora substituindo a = 1 na primeira equação:

6 . 1 + b = - 2

b = - 2 - 6

b = - 8

Assim temos que os coeficientes são

a = 1

b = - 8

Beleza?

Estamos quase lá! Reunindo os coeficientes temos finalmente a cara da nossa função

f x = a x 2 + b x + 18

f x = x 2 - 8 x + 18

Passo 6

Sabemos agora da cara da nossa função f , podemos calcular f ( - 1 ) :

f x = x 2 - 8 x + 18

f - 1 = - 1 2 - 8 - 1 + 18 = 1 + 8 + 18 = 27

f - 1 = 27

E taí nosso resultado!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

f - 1 = 27

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