Exercícios Resolvidos de Propriedades de Derivadas

Suponha que f e g sejam, ambas, funções diferenciáveis satisfazendo f ' x > g ' x para todo x ∈ R . Então podemos afirmar que os gráficos de y = f x e y = g x :

  1. Não possuem mais do que uma interseção.
  2. Possuem exatamente uma interseção.
  3. Podem possuir mais de uma interseção.
  4. Não possuem interseção.
  5. Têm uma reta tangente em comum no ponto de interseção.

Passo 1

Observando a questão, vemos que temos duas funções f e g e f ' x > g ' x . Ou seja, a derivada de f é maior que a de g .

Isso significa que f cresce mais que g e ou decresce menos, já que a derivada é a taxa de variação da função.

Agora, analisando as alternativas, vemos que a pergunta é quanto a interseção das duas funções.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então analisar o que temos e ver o que podemos concluir quando a interseção. Para isso, vamos criar algumas hipóteses:

  1. Em algum momento, f é maior que g .
  2. Em algum momento, f é menor que g .

Vamos ver as conseguências disso. Se a hipótese (I) for verdadeira, se f cresce mais que g , então g nunca alcançará f e as funções nunca vão se encontrar! Ou mesmo vale se f decresce menos que g . Triste. Concluímos então que há possibilidade delas nunca se encontrarem.

Show, agora se (II) for verdade, como f cresce mais, então em algum momento f cruza g . Quando cruzar, voltaremos a hipótese (I), pois f será maior que g . Assim concluímos que f e g se cruzam no máximo uma vez e a alternativa correta é a (a).

Resposta

Alternativa (a).

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