Seja f ( x ) um polinômio de grau 3, com três raízes reais distintas. Mostre que f tem um ponto de inflexão, que é a média aritmética das três raízes.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui

Seja f ( x ) um polinômio de grau 3, com três raízes reais

E faz uma afirmação:

Mostre que f tem um ponto de inflexão, que é a média aritmética das três raízes

E agora, como mostrar isso?

Quando temos uma função de grau três com três raízes distintas (por exemplo a , b , c ) podemos escrever em forma de fatoração:

f x = ( x - a ) ( x - b ) ( x - c )

Beleza? Mas e daí?

Sabemos também que um ponto de inflexão é encontrado quando a segunda derivada é zero! É onde a função muda de concavidade! Então precisamos derivar nossa função duas vezes e igualar a zero!

Se tudo der certo, teremos x como a média das raízes

x = a + b + c 3

Bora lá!

Passo 2

Derivando uma vez nossa função

f x = x - a x - b x - c

f ' x = 1 . x - b x - c + 1 . x - a x - c + 1 . ( x - a ) ( x - b )

Beleza?

Passo 3

Agora vamos derivar novamente:

f ' ' x = x - c + x - b + x - c + x - a + x - b + ( x - a )

Agrupando os termos semelhantes temos

f ' ' x = 2 x - a + 2 x - b + 2 ( x - c )

Abrindo esses produtos

f ' ' x = 6 x - 2 ( a + b + c )

Tudo bem até aqui?

Agora vem o pulo do gato! Para ser ponto de inflexão, a derivada segunda precisa ser zero! Daí temos

6 x - 2 a + b + c = 0

6 x = 2 a + b + c

x = 2 a + b + c 6

E simplificando

x = a + b + c 3

Mostramos que para um ponto ser de inflexão em um polinômio de grau três ele deve ser a média aritmética das raízes!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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