Considere um movimento em que a aceleração é dada por a t = a 0 + k t e atribua as condições inicia s 0 = s 0 e v 0 = v 0 .

  1. Mostre que essa situação pode ser descrita por encontrar uma função s ( t ) que satisfaz
  2. s ' ' 0 = a o + k t s 0 = s 0 s ' 0 = v 0

  3. Mostre que, para quaisquer números A e B , a função s t = A + B t + 1 2 a o t 2 + 1 6 k t 3 satisfaz s ' ' t = a 0 + k t
  4. Mostre que para s t = A + B t + 1 2 a o t 2 + 1 6 k t 3 satisfazer s 0 = s 0 e s ' 0 = v 0 , então s t = s 0 + v 0 t + 1 2 a 0 t 2 + 1 6 k t 3

Passo 1

E aí gente, tudo na tranquilidade por aí? Vamos primeiro entender esse enunciado doido? Primeiro a gente vai lembrar o que é a definição de aceleração, certo?

A definição de aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

a = d v t d t

E quem é a velocidade? A derivada da equação do movimento s ( t ) em relação ao tempo, certo?

Então, podemos dizer que:

v = d s t d t

Ou seja, a aceleração nada mais é do que a derivada segunda da posição s ( t ) , ou seja,

a t = d 2 s t d t 2

Então, qual vai ser a ideia aqui... na letra (a) a gente vai integrar essa equação e depois substituir as condições de contorno pra obter os valores das constantes. Na (b) vamos aplicar literalmente a derivada segunda que ele pede pra provarmos. E nas outras letras vamos seguir praticamente o mesmo raciocínio da letra (b).

Passo 2

Bora integrar então!!

d 2 s t d t 2 = a t = a o + k t

Integrando a primeira vez, vamos ter:

d s d t = v ( t ) = a o t + k t 2 2 + C 1

Integrando mais uma vez:

s t = a o t 2 2 + k t 3 6 + c 1 t + c 2

Aplicando as condições iniciais dadas no enunciado, temos que:

s 0 = s o

v 0 = v 0

Substituindo na equação de s ( t ) e v ( t ) , vamos encontrar os seguintes valores das constantes:

s 0 = c 2 = s o

v 0 = c 1 = v o

Substituindo, temos:

s t = a o t 2 2 + k t 3 6 + v o t + s o

Passo 3

Agora precisamos comprar e satisfazer as condições dadas

s ' ' 0 = a o + k t s 0 = s 0 s ' 0 = v 0

Vamos ver se vai funcionar?

s ' ' = d 2 s d t 2 = a t = a o + k t

s t = a o t 2 2 + k t 3 6 + v o t + s o

s ' t = v t = a o t + k t 2 2 + v o

Aplicando as condições dadas, vamos ver o que acontecerá! A primeira condição já foi dada pelo próprio enunciado, então temos que verificar o restante:

s 0 = s o

s ' 0 = v o

Tcharam, ta aí!!!

Passo 4

(b) Para a letra (b) vamos fazer exatamente o que o enunciado tá falando, pra gente provar que a derivada segunda da função s t dada na letra (b) vai resultar em s ' ' t = a o + k t

s ' t = a o t + k t 2 2 + v o

s ' ' t = a o + k t

Passo 5

Dada a nossa função de s t = A + B t + 1 2 a o t 2 + 1 6 k t 3 , precisamos ver se ela satisfaz as condições de s 0 = s o e s ' 0 = v 0 .

s 0 = A

s ' = B + a o t + 1 2 k t 2

s ' 0 = B

Então, o enunciado nos diz que s t = s o + v o t + 1 2 a o t 2 + 1 6 k t 3 ... Fazendo uma comparação com a primeira equação do passo (5), temos que A = s o e B = v 0

Portanto,

s 0 = s o

s ' 0 = v o

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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