Exercícios Resolvidos de Propriedades de Derivadas

Regras de Derivação I

Considere f x = x 3 - 5 x 2 + 8 . Sejam x 1 e x 2 pontos no domínio tais que as retas tangentes ao gráfico da f nestes pontos sejam paralelas. Mostre que o valor da soma x 1 + x 2 independe da escolha dos pontos e calcule este valor.

Passo 1

Vamos começar achando a derivada de f x , já que estamos trabalhando com inclinação de reta tangente, lembrando que os coeficientes angulares dessas retas (a inclinação) vale a derivada da função no ponto.

f ' x = 3 x 2 - 10 x

Se dois pontos de um gráfico tem as retas tangentes paralelas entre si significa que elas tem um mesmo coeficiente angular e, pontanto, as derivadas da função nesses pontos é a mesma.

Assim, f ' x 1 = f ' x 2 = C , onde C seria uma inclinação qualquer da reta. Logo, para descobrir x 1 e x 2 nós temos que resolver a seguinte equação

f ' x = 3 x 2 - 10 x = C

3 x 2 - 10 x - C = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora o enunciada não pediu esses dois valores de x e sim sua soma. Na verdade, sem conhecer essa inclinação C nós nem conseguiríamos achar os valores de x 1 e x 2 . O detalhe é que, através de um artifício que você deve ter aprendido no ensino médio nós conhecemos a solução da soma das soluções de f ' x = C . Lembra que se tivéssemos uma equação do segundo grau qualquer dada por

a x 2 + b x + c

Temos que

S o m a   d a s   r a í z e s : x 1 + x 2 = - b a

P r o d u t o   d a s   r a í z e s :     x 1 . x 2 = c a

Dessa forma, se nossa equação é

3 x 2 - 10 x - C = 0

A soma de suas soluções será:

x 1 + x 2 = - - 10 3 = 10 3

Logo, notamos que, de fato, essa soma independe da escolha dos pontos e da inclinação que se quer estudar.

Resposta

x 1 + x 2 = - - 10 3 = 10 3

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