Encontre as derivadas das seguintes funções

f x = x 3 ln ⁡ x - x 3 3

Passo 1

E aí, galerinha! Agora a gente tem ali um polinômio também, porém temos um produto entre duas funções ali no primeiro termo da f ( x ) , certo? Então o que vamos precisar usar? Isso mesmo que você disse, vamos usar a regra do produto pra primeira parcela da função. A regra do produto é essa daqui:

f x = P x M ( x )

f ' x = P ' x M x + P x M ' ( x )

Mas cuidado que esse f ( x ) aí da regra do produto não é o mesmo do nosso enunciado. A gente vai aplicar essa regra somente ao primeiro termo, ou seja, ao produto. E pra isso, vamos precisar encontrar as derivadas das duas funções dentro do nosso produto, x 3 e ln ⁡ x , e substituir na fórmula da regra do produto. Bora lá!

Passo 2

Nosso produto é

x 3 ln ⁡ x

Vamos chamar P ( x ) = x 3 e M x = l n ⁡ ( x )

P ' x = 3 x 2

A derivada de l n ⁡ ( u ) é dada por d u u

Portanto, no nosso caso teríamos que:

M ' x = d d x ln ⁡ x = d d x x x = 1 x

Passo 3

Substituindo na regra do produto, teremos:

P x M x ' = P ' x M x + P x M ' x

d d x x 3 ln ⁡ x = 3 x 2 ln ⁡ x + x 3 x

Então pra primeira parcela a gente já conseguiu identificar quanto ela vai valer quando derivarmos f ( x ) do enunciado.

A segunda parcela vamos aplicar a regra de derivação de polinômio normalmente, tal que:

d d x x 3 3 = x 2

Ao final, temos:

f ' x = 3 x 2 ln ⁡ x + x 3 x - x 2

Simplificando, temos:

f ' x = 3 x 2 l n ⁡ ( x )

Resposta

f ' x = 3 x 2 l n ⁡ ( x )

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