Encontre as derivadas das seguintes funções

f x = t g x - c o t g ( x )

Passo 1

E aí, galerinha! Agora a gente tem ali um polinômio também, porém começou a aparecer as funções trigonométricas que vou te falar, eu NUNCA sei qual é a derivada de t g ( x ) e muito menos de c o t g ( x ) , mas sabe o que eu faço SEMPRE? Eu abro esses carinhas em seno e cossenos, porque as derivadas desses dois caras sim, eu conheço!!!

Então por exemplo,

t g x = s e n x cos ⁡ x

c o t g x = 1 t g x = 1 s e n x cos ⁡ x = cos ⁡ x s e n x

Opa, então eu posso escrever minha f ( x ) na verdade como sendo:

f x = s e n x cos ⁡ x - cos ⁡ x s e n x

E adivinha? Vamos aplicar a regra do quociente em cada uma dessas parcelas!!

Passo 2

Para a primeira parcela, temos a derivada dada como:

d d x s e n x cos ⁡ x = cos ⁡ x cos ⁡ x - s e n x - s e n x cos 2 ⁡ x

d d x s e n x cos ⁡ x = cos 2 ⁡ x + s e n 2 ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) = 1 cos 2 ⁡ x

Passo 3

Para a primeira parcela, temos a derivada dada como:

d d x c o s ⁡ ( x ) s e n ( x ) = - s e n x s e n ( x ) - c o s ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) s e n 2 ( x )

d d x c o s x sen ⁡ x = - s e n 2 x - cos 2 ⁡ ( x ) sen 2 ⁡ ( x ) = - 1 sen 2 ⁡ x

Logo, temos que:

f ' x = 1 cos 2 ⁡ x + 1 sen 2 ⁡ x

Resposta

f ' x = 1 cos 2 ⁡ x + 1 sen 2 ⁡ x

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