Quantas retas tangentes ao gráfico de f(x) = x 3 + 3 x são paralelas à reta y = 6 x + 1 ? Determine a equação dessas retas tangentes.

Passo 1

Iai, minha gente boa. Bora pra mais uma? Bem, para essa questão vamos trabalhar com a eq. Da Reta Tangente e seu coeficiente angular. Como sabemos a reta tangente é:

y - f a = m ( x - a )

Quando comparamos com equação da reta que nos foi dada na questão, y = 6 x + 1 , podemos observar que o m (ou coeficiente angular) dessa equação é o valor 6. Agora, precisamos relembrar o que é o m.

m = f ' x

6 = x 3 + 3 x '

3 x 2 + 3 = 6

3 x 2 = 3

x = ± 1 =   ± 1

Como encontramos dois valores para x, isso quer dizer que teremos 2 retas tangentes a x 3 + 3 x e paralelas à reta y = 6 x + 1 .

Passo 2

Então, vamos descobrir essas quem são essas retas, começando por x = 1 . Para conseguirmos a eq. da reta tangente nesse ponto, vamos precisar do f(1) e f’(1).

  • f 1 = 1 3 + 3 . 1 = 4
  • f ' ( 1 ) = 3 . 1 2 + 3 = 6

Certo, agora só jogarmos na fórmula da reta tangente para descobrimos o b, que é o que está faltando:

f 1 = f ' 1 . 1 + b

4 = 6.1 + b

b = - 2

Portanto, para x = 1 , a eq. da reta é:

y = 6 x - 2

Passo 3

Agora, vamos repetir todo o processo anterior para x = - 1 :

  • f - 1 = ( - 1 ) 3 + 3 . - 1 = - 4
  • f ' ( - 1 ) = 3 . ( - 1 ) 2 + 3 = 6

Certo, agora só jogarmos na fórmula da reta tangente para descobrimos o b, que é o que está faltando:

f - 1 = f ' - 1 . ( - 1 ) + b

- 4 = 6 . ( - 1 ) + b

b = 2

Portanto, para x = - 1 , a eq. da reta é:

y = 6 x + 2

Resposta

Duas retas, suas equações são:

  • y = 6 x - 2
  • y = 6 x + 2

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