Exercícios Resolvidos de Propriedades de Derivadas

Regras de derivação II

Considere f a função definida pelo gráfico abaixo,

Sabendo que a reta r é tangente ao gráfico da f em x = - 2 e s a reta tangente ao gráfico da f em x = 1

  1. Determine a equação da reta r
  2. Determine f - 2 e f ' - 2
  3. Determine a equação da reta s
  4. Determine f 1 e f ' 1

Passo 1

a )

Pelo gráfico conseguimos saber a inclinação da reta tangente, isso porque a inclinação da reta vai ser a tangente daquele ângulo que ele colocou ali

a = tan ⁡ 30 ° = 3 3

Temos um ponto da reta, que é - 3,0 a equação da reta que passa por esse ponto vai ser

y - 0 x - - 3 = 3 3

y - 0 x + 3 = 3 3

Multiplicando cruzado

3 y = 3 x + 3 3

y = 3 3 x + 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

A reta tangente que passa por x = - 2 vai ser

y - f - 2 x - - 2 = f ' - 2

y - f - 2 x + 2 = f ' - 2

Multiplicando cruzado vamos ter

y - f - 2 = f ' - 2 x + 2 f ' - 2

y = f ' - 2 x + 2 f ' - 2 + f - 2

Comparando essa reta com a equação que achamos no item a vamos ter

y = f ' - 2 x + 2 f ' - 2 + f - 2

y = 3 3 x + 3

f ' - 2 = 3 3

2 f ' - 2 + f - 2 = 3

Com isso já sabemos a derivada, que vai ser

f ' - 2 = 3 3

Substituindo na segunda equação que achamos vamos ter

2 3 3 + f - 2 = 3

f - 2 = 3 - 2 3 3

f - 2 = 3 3 - 2 3 3

f - 2 = 3 3

Passo 3

c )

Para achar essa reta é um pouco mais complicado, não temos a sua inclinação, mas temos um ponto dela que é 2,0 , outro ponto dela seria 1 , f 1 mas não sabemos f 1 , repara que temos um terceiro ponto que podemos achar, que é o ponto onde a reta corta o eixo y , que por acaso é o mesmo que a reta r corta o eixo y , vamos achar esse ponto pela equação da reta r

y = 3 3 x + 3

Devemos fazer x = 0

y = 3 3 ∙ 0 + 3

y = 3

Então aquele ponto que falei é 0 , 3

A equação da reta s vai ser

y - 0 x - 2 = 3 - 0 0 - 2

y x - 2 = - 3 2

Multiplicando cruzado

2 y = - 3 x + 2 3

y = - 3 2 x + 3

Passo 4

b )

A reta tangente que passa por x = 1 vai ser

y - f 1 x - 1 = f ' 1

Multiplicando cruzado vamos ter

y - f 1 = f ' 1 x - f ' 1

y = f ' 1 x - f ' 1 + f 1

Comparando essa reta com a equação que achamos no item c vamos ter

y = f ' 1 x - f ' 1 + f 1

y = - 3 2 x + 3

f ' 1 = - 3 2

- f ' 1 + f 1 = 3

Com isso já sabemos a derivada, que vai ser

f ' 1 = - 3 2

Substituindo na segunda equação que achamos vamos ter

- - 3 2 + f 1 = 3

3 2 + f 1 = 3

f 1 = 3 - 3 2

f 1 = 2 3 - 3 2

f 1 = 3 2

Resposta

  1. y = 3 3 x + 3
  2. f ' - 2 = 3 3           e           f - 2 = 3 3
  3. y = - 3 2 x + 3
  4. f ' 1 = - 3 2           e           f 1 = 3 2

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