Determine A, B, C para que a função y x = A x 2 + B x + C seja solução da equação diferencial 3 y ' ' + 8 y ' + 4 y = - 2 x 2 + 3 x

Passo 1

Vamos lá, essa questão quando a gente inicia a leitura dela parece algo absurdamente tenso que devemos fazer, mas calmaaaaa!! Você vai ver que a gente vai tirar isso de letra. O problema pede pra gente encontrar os valores dos coeficientes que satisfaçam a equação diferencial ali do lado, que se você perceber tem uma derivada segunda de y, uma derivada primeira e a própria função de y.

Em outras palavras, a gente vai calcular as derivadas da função y e depois substituir na equação e obter os valores de A, B e C

Passo 2

Vamos derivar então!!

y ' = 2 A x + B

y ' ' = 2 A

Vamos substituir na equação diferencial!!

3 2 A + 8 2 A x + B + 4 A x 2 + B x + C = - 2 x 2 + 3 x

6 A + 16 A x + 8 B + 4 A x 2 + 4 B x + C = - 2 x 2 + 3 x

Por comparação o que a gente pode ver é que do lado direito temos um termo x 2 e olhando para o outro lado, vemos que existe apenas um termo com x 2 também, portanto para que essa igualdade seja verdadeira, precisamos ter:

4 A x 2 = - 2 x 2

4 A = - 2

A = - 1 2

Passo 3

Opa, e quem são os termos que estão com x do lado esquerdo e direito?

Lado esquerdo: 16 A x + 4 B x

Lado direito: 3 x

Logo, temos que:

16 A + 4 B x = 3 x

16 A + 4 B = 3

4 B = 3 - 16 A

B = 3 - 16 A 4

Sabemos que A = - 1 2

B = 3 - 16 - 1 2 4

B = 3 + 8 4 = 11 4

Olhando pro lado esquerdo, vemos que C precisa ser igual a zero, afinal do lado direito da igualdade não temos nenhuma constante.

Resposta

A = - 1 2

B = 11 4

C = 0

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