Exercícios Resolvidos de Propriedades de Derivadas

Elaboração própria.

Sendo f ( x ) a função dada pelo gráfico abaixo, diga onde a derivada de f ( x ) é positiva, negativa ou nula.

Passo 1

Basicamente o enunciado está nos pedindo o sinal da derivada de f ( x ) .

Bom... Caso você tenha se esquecido, a derivada de f ( x ) em um determinado ponto nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente à curva naquele ponto.

Com isso, nós temos que analisar alguns pontos distintos desse gráfico para identificarmos se esse coeficiente é positivo, negativo ou nulo.

Mas antes, se liga nesses exemplos:

a) f ' x = 0

A reta tangente à curva não possui inclinação.

b) f ' x < 0

A reta tangente à curva é decrescente.

c) f ' x > 0

A reta tangente à curva é crescente.

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Passo 2

Graficamente, se nós analisarmos a derivada de f ( x ) para valores à esquerda de x = 0 , conseguimos identificar que o coeficiente é positivo, certo?

Dá uma olhadinha aqui:

Como a reta verde (reta tangente à f ( x ) quando x < 0 ) é crescente, o seu coeficiente angular é positivo.

Com isso, temos que: quando x < 0 , f ' x > 0 .

Passo 3

Mais à direita do gráfico, em uma outra análise, o coeficiente angular da reta tangente à f ( x ) também é positivo:

Isso acontece, pois a reta azul (reta tangente à f ( x ) quando x > 0 ) é crescente.

Com isso, temos que: quando x > 0 , f ' x > 0 .

Passo 4

Agora vamos analisar o ponto central, quando x = 0 :

Como podemos ver, nesse ponto, a reta amarela (reta tangente à f ( x ) quando x = 0 ) não possui inclinação, logo, é nula.

Com isso, temos que: quando x = 0 , f ' x = 0 .

Resposta

Portanto, temos que quando:

x = 0 ; f ' x = 0

x < 0 ; f ' x > 0

x > 0 ; f ' x > 0

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