Ache o raio de convergência da série de potências da função

f x = x 4 2 - x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!

Da primeira parte achamos a série de potências dessa função

f x = ∑ n = 0 ∞ x n + 4 2 n

E vamos relembrar como calcularmos o raio de convergência:

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

E esse aqui é o pulo do gato!

A ideia é identificar quem é o termo geral a n , acrescentar um no contator e aplicar esse limite!

Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série

∑ n = 0 ∞ x n + 4 2 n

Aí o termo geral é

a n = 1 2 n

Fazendo n → n + 1 temos

a n + 1 = 1 2 n + 1

Tranquilo até aqui?

Agora vamos calcular a razão a k a k + 1

a k a k + 1 = 1 2 n . 2 n + 1 1   = 2

Tudo bem até aqui? Bora pro limite!

Passo 3

Jogando tudo no limite temos

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

R = lim n → ∞ ⁡ 2 = 2

Aí nosso raio fica

R = 2

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

R = 2

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n