Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

a )   ∑ k = 0 ∞ x - 6 k k

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!

o raio de convergência de uma série de potências é dado por esse limite aqui

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

Caso esse limite exista, claro!

E esse aqui é o pulo do gato!

A ideia é identificar quem é o termo geral a n , acrescentar um no contator e aplicar esse limite!

Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série

∑ k = 0 ∞ x - 6 k k

Aí o termo geral é

a k = x - 6 k k

Fazendo k → k + 1 temos

a k + 1 = x - 6 k + 1 k + 1

Tranquilo até aqui?

Agora vamos calcular a razão a k a k + 1

a k a k + 1 = x - 6 k k . k + 1 x - 6 k + 1   = 1 x - 6 k + 1 k

Tudo bem até aqui? Bora pro limite!

Passo 3

Jogando tudo no limite temos

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

R = lim k → ∞ ⁡ k + 1 k

Temos que k > 0 , então o limite

lim k → ∞ ⁡ k + 1 k = lim k → ∞ ⁡ k + 1 k

No infinito k + 1 tem o mesmo comportamento que k , então podemos dispensar aquele + 1

lim k → ∞ ⁡ k + 1 k = 1

Aí nosso raio fica

R = 1

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

R = 1

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
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