Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

c )   ∑ k = 0 ∞ x k 2 k !

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!

o raio de convergência de uma série de potências é dado por esse limite aqui

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

Caso esse limite exista, claro!

E esse aqui é o pulo do gato!

A ideia é identificar quem é o termo geral a n , acrescentar um no contator e aplicar esse limite!

Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série

∑ k = 0 ∞ x k 2 k !

Aí o termo geral é

a k = 1 2 k !

Fazendo k → k + 1 temos

a k + 1 = 1 2 k + 2 !

Tranquilo até aqui?

Agora vamos calcular a razão a k a k + 1

a k a k + 1 = 1 2 k ! . 2 k + 2 ! 1   = 2 k + 2 2 k + 1 2 k ! 2 k !

Tudo bem até aqui? Bora pro limite!

Passo 3

Jogando tudo no limite temos

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

R = lim k → ∞ ⁡ 2 k + 2 2 k + 1 2 k ! 2 k !

Temos que k > 0 , então o limite

lim k → ∞ ⁡ ( 2 k + 2 ) ( 2 k + 1 ) = lim k → ∞ ⁡ ( 2 k + 2 ) ( 2 k + 1 )

No infinito k → ∞

lim k → ∞ ⁡ ( 2 k + 2 ) ( 2 k + 1 ) = ∞

Aí nosso raio fica

R = ∞

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

R = ∞

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n