Considere a série de potências

∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k + 1 ( x - 2 ) k + 1 3 k + 1   ( k + 1 )

  1. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências acima

Passo 1

Antes de tudo, precisamos reescrever essa série na forma geral ∑ n = 0 + ∞ c n   ( x - a ) n .

∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k + 1 ( x - 2 ) k + 1 3 k + 1   ( k + 1 ) = ∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k + 1 ( x - 2 ) 1 3 k + 1   ( k + 1 ) ( x - 2 ) k

Assim, temos uma série de potências centrada em a = 2

Passo 2

Para determinar o raio de convergência da série, usamos o critério da razão.

C n = ( - 1 ) k + 1   x - 2 k + 1 3 k + 1   ( k + 1 )

Então:

lim k → ∞ ⁡ c n + 1 c n =   lim k →  ∞ ⁡ ( - 1 ) k + 2 ( x - 2 ) k + 2 3 k + 2   ( k + 2 ) ( - 1 ) k + 1 ( x - 2 ) k + 1 3 k + 1   ( k + 1 )

=   l i m k →   ∞ x - 2 3 k + 1 k + 2 =   x - 2 3 < 1

Assim:

X - 2 < 3

Conforme o teste da Razão, tem-se que L   x - a < 1 e R = 1 L . Portanto, temos que

R = 3 .

Passo 3

Vamos calcular o intervalo de convergência. Como a série é centrada em a = 2 , sabemos que esse intervalo é:

a - R ,   a + R = 2 - 3 ,   2 + 3 = ( - 1 ,   5 )

Nesse intervalo, pelo menos, sabemos que a série converge. É necessário descobrir se as extremidades x = - 1 e x = 5 estão inclusas ou não.

Passo 4

No ponto x =   - 1 :

∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k + 1 ( - 3 ) k + 1 3 k + 1   ( k + 1 )   =   ∑ k = 0 + ∞ - 1 k   - 1 ( - 3 ) k   ( - 3 ) 3 k 3 ( k + 1 )

∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k ( - 3 ) k   3 k   ( k + 1 ) =   ∑ k = 0 + ∞ 1   ( k + 1 )

Denominando a n =   1 ( n + 1 ) e b n =   1 n , iremos usar o teste da comparação no limite.

lim n → ∞ ⁡ a n b n =   lim n →  ∞ ⁡ 1 ( n + 1 ) 1 n =   lim n → ∞ ⁡ n n   ( 1 + 1 n ) = 1

Como o resultado foi 1, ambas as séries possuem o mesmo comportamento, isto é, ambas são

divergentes uma vez que a série harmônica ∑ n = 1 ∞ 1 n sempre diverge. Logo, a série no ponto

x =   - 1 diverge.

Passo 5

No ponto x = 5:

∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k + 1 3 k + 1 3 k + 1   ( k + 1 ) =   ∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k + 1 ( k + 1 )

A série se torna uma série alternada. Aplicando o teste da série alternada, temos:

∑ k = 0 + ∞ ( - 1 ) k + 1 ( k + 1 ) =   ∑ k = 0 + ∞ 1 ( k + 1 )

Denominando a n =   1 ( n + 1 ) e b n =   1 n , iremos usar o teste da comparação no limite.

lim n → ∞ ⁡ a n b n =   lim n →  ∞ ⁡ 1 ( n + 1 ) 1 n =   lim n → ∞ ⁡ n n   ( 1 + 1 n ) = 1

Como o resultado foi 1, ambas as séries possuem o mesmo comportamento, isto é, ambas são

divergentes uma vez que a série harmônica ∑ n = 1 ∞ 1 n sempre diverge. Decorrente disso, tem-

se que a série alternada não converge absolutamente.

Além disso, podemos observar que lim k → ∞ ⁡ 1 ( k + 1 ) = 0 e f x =   1 k + 1 é uma função decrescente.

Conclusão: a série alternada converge condicionalmente. Temos, então, ( - 1,5 ]

Resposta

  1. R=3 e (-1,5]

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
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