Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada

c )   ∑ n = 1 ∞ - 1 n x n 2 n - 1 3 2 n - 1

Passo 1

Fala galerinha, tudo bem? Precisamos descobrir o raio e o intervalo de convergência dessa série de potências aqui

∑ n = 1 ∞ - 1 n x n 2 n - 1 3 2 n - 1

Mas você lembra como encontrar?

Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar o teste da Razão para Convergência Absoluta!

Ele nos diz que: supondo uma série de potências do tipo

∑ n = 0 ∞ a n x n

Dizemos que ela é convergente se

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x < 1

Então a ideia aqui é determinar esse limite e verificar para quais valores de x isso acontece!

Desse resultado vamos obter o raio de convergência! Nosso raio será x < R !

E agora o que fazer para determinar o intervalo?

Para achar o intervalo vamos testar na série de potência os valores dos extremos encontrado por nós! Se em um extremo a série resultante for convergente, isso significa que o intervalo é fechado nesse valor de x ! Caso contrário, dizemos que o intervalo é aberto!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 1 ∞ - 1 n x n 2 n - 1 3 2 n - 1

Nosso termo geral é

a n = - 1 n x n 2 n - 1 3 2 n - 1

Agora fazendo n → n + 1 temos

a n + 1 = - 1 n + 1 x n + 1 2 ( n + 1 ) - 1 3 2 ( n + 1 ) - 1 = - 1 n . - 1 . x n . x 1 2 n + 1 3 2 n . 3 1

Tranquilo até aqui?

Agora vamos determinar a razão a n + 1 a n , simplificar e separar parte em n parte em x :

a n + 1 a n = - 1 n . - 1 . x n . x 1 2 n + 1 3 2 n . 3 1 . 2 n - 1 3 2 n 3 - 1 - 1 n x n   = 2 n - 1 2 n + 1 . x 3 2

Agora vamos calcular o limite quando n → ∞

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 2 n + 1 . x 9

A parte dependente de x pode sair do limite, ficamos apenas com a parte em n

ρ = x 9 lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 2 n + 1

Beleza?

Aplicando a Regra de L’Hôpital no limite temos

lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 2 2 = 1

Então nosso limite converge! Ótima notícia!

Relembrando dos critérios para a convergência:

Dizemos que a série converge absolutamente quando

ρ = x 9   lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 2 n + 1 ⏝ = 1 = | x 9 | < 1

Então

x < 9

Encontramos portanto nosso raio de convergência!

R c = 9

Estamos quase lá! Bora achar o intervalo!

Passo 3

Agora nossa missão é identificar o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades! Partindo do raio de convergência

x < 9

- 9 < x < 9

Encontramos nosso intervalo:

I c :   - 9 < x < 9

Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de x :

x = - 9 ,   x = 9

Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto.

Passo 4

Passo 5

Para o primeiro valor de x , com x = 9 , nossa série de potências

∑ n = 1 ∞ - 1 n x n 2 n - 1 3 2 n - 1

Fica assim

∑ n = 1 ∞ - 1 n 9 n 2 n - 1 3 2 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 3 2 n 3 2 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 2 n - 1

Temos uma série alternada do tipo ∑ - 1 n a n ! O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:

1º) lim n → ∞ ⁡ a n = 0

2º)   a n + 1 < a n

Nossa série tem a n = 1 3 ( 2 n - 1 ) , portanto lim n → ∞ ⁡ 1 3 ( 2 n - 1 ) = 0 , ok, primeiro critério satisfeito! Agora o segundo

a n + 1 = 1 3 ( 2 ( n + 1 ) - 1 ) = 1 3 ( 2 n + 1 )

a n + 1 = 1 3 ( 2 n + 1 ) < 1 3 ( 2 n - 1 ) = a n

Oba! Nossa série converge no extremo inferior! Então ali o intervalo é fechado

Agora vamos testar com x = - 9

∑ n = 1 ∞ - 1 n ( - 9 ) n 2 n - 1 3 2 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n 2 n - 1 3 2 n 3 2 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 3 2 n - 1

Vamos aplicar o teste da integral! Se a integral associada convergir, então a série também converge!

∫ 1 ∞ 1 3 2 x - 1 d x = 1 3 ∫ 1 ∞ d x 2 x - 1 = ⏝ u = 2 x - 1 d u = 2 d x  

= 1 3 ∫ 1 u   . d u 2 = 1 6 ln ⁡ u = 1 6 ln ⁡ 2 x - 1 1 x → ∞

Avaliando nos limites de integração temos

= 1 6 ln ⁡ ( ∞ ) - 1 6 ln ⁡ 1 = ∞  

Essa integral diverge! Sendo assim, nossa série é uma série divergente! Então nesse extremo o intervalo é aberto!

Passo 6

Recapitulando, nossa série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n x n 2 n - 1 3 2 n - 1

Achamos o raio de convergência

x < 9 = R

E intervalo com os dois extremos abertos

I c = ( - 9,9 ]

Beleza pessoal? É isso! Espero ter ajudado

Resposta

I c = ( - 9,9 ]

R = 9

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n