Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada

f )   ∑ n = 0 ∞ ( x + 3 ) n   2 n

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos descobrir o raio e intervalo de convergência dessa série de potências aqui

∑ n = 0 ∞ x + 3 n   2 n

Mas você lembra como encontrar?

Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar o teste da Razão para Convergência Absoluta!

Ele nos diz que: supondo uma série de potências do tipo

∑ n = 0 ∞ a n x n

Dizemos que ela é convergente se

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x < 1

Então a ideia aqui é determinar esse limite e verificar para quais valores de x isso acontece!

Desse resultado vamos obter o raio de convergência! Nosso raio será x < R !

E agora o que fazer para determinar o intervalo?

Para achar o intervalo vamos testar na série de potência os valores dos extremos encontrado por nós! Se em um extremo a série resultante for convergente, isso significa que o intervalo é fechado nesse valor de x ! Caso contrário, dizemos que o intervalo é aberto!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 0 ∞ x + 3 n   2 n

Nosso termo geral incluindo x é

a n = x + 3 n   2 n

Agora fazendo n → n + 1 temos

a n + 1 = x + 3 n + 1   2 n + 1 = x + 3 n ( x + 3 )   2 n . 2

Tranquilo até aqui?

Agora vamos determinar a razão a n + 1 a n e simplificar ao máximo

a n + 1 a n = x + 3 n ( x + 3 )   2 n . 2   . 2 n   x + 3 n = x + 3 2

Agora vamos calcular o limite quando n → ∞ , lembrando que a parte em x pode sair do limite

ρ = lim n → ∞ ⁡ 2 x 3 . 1 = x + 3 2 lim n → ∞ ⁡ 1

n , temos que o raio de convergência vai ser dado apenas onde a parte em x for menor do que um! Lembra dos critérios para convergência?

E agora nossa série será convergente se ρ < 1

ρ = x + 3 2 < 1

Beleza?

Então

x + 3 < 2

Encontramos portanto nosso raio de convergência!

R = 2

Passo 3

Agora nossa missão é identificar o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades! Partindo do raio de convergência

x + 3 < 2

- 2 < x + 3 < 2

- 2 - 3 < x < 2 - 3

- 5 < x < - 1

Encontramos nosso intervalo:

I c :   - 5 < x < - 1

Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de x :

x = - 5 ,   x = - 1

Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto.

Passo 4

Para o primeiro valor de x , com x = - 5 , nossa série de potências

∑ n = 0 ∞ x + 3 n   2 n

Fica assim

∑ n = 0 ∞ - 2 n   2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n

Temos uma série alternada, portanto divergente. Essa séria fica alternando em + 1 e - 1 , mas nunca conseguimos determinar seu fim e por isso ela diverge! Nesse extremo nosso intervalo é aberto

Agora vamos testar com x = - 1 :

∑ n = 0 ∞ 2 n   2 n = ∑ n = 0 ∞ 1

Essa aqui também diverge! Isso porque o limite do seu termo geral (quando n → ∞ ) é diferente de 0 !

Oba! Nossa série diverge também no extremo superior! Então ali o intervalo é aberto

Passo 5

Recapitulando, nossa série:

∑ n = 0 ∞ x + 3 n   2 n

Achamos o raio de convergência

x + 3 < 2 = R

E intervalo com os dois extremos abertos

I c = ( - 5 , - 1 )

Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?

Resposta

I c = ( - 5 , - 1 )

R = 2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n