Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada

f )   ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n x n n   3 n

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos descobrir o raio e intervalo de convergência dessa série de potências aqui

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n x n n   3 n

Mas você lembra como encontrar?

Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar o teste da Razão para Convergência Absoluta!

Ele nos diz que: supondo uma série de potências do tipo

∑ n = 0 ∞ a n x n

Dizemos que ela é convergente se

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x < 1

Então a ideia aqui é determinar esse limite e verificar para quais valores de x isso acontece!

Desse resultado vamos obter o raio de convergência! Nosso raio será x < R !

E agora o que fazer para determinar o intervalo?

Para achar o intervalo vamos testar na série de potência os valores dos extremos encontrado por nós! Se em um extremo a série resultante for convergente, isso significa que o intervalo é fechado nesse valor de x ! Caso contrário, dizemos que o intervalo é aberto!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n x n n   3 n

Nosso termo geral incluindo x é

a n = - 1 n + 1 2 n x n n   3 n

Agora fazendo n → n + 1 temos

a n + 1 = - 1 n + 2 2 n + 1 x n + 1 ( n + 1 )   3 n + 1 = - 1 n 2 n . 2 . x n . x n + 1 3 n . 3

Tranquilo até aqui?

Agora vamos determinar a razão a n + 1 a n e simplificar ao máximo

a n + 1 a n = - 1 n 2 n . 2 . x n . x n + 1 3 n . 3   . n   3 n - 1 n + 1 2 n x n = 2 x 3 . n n + 1

Agora vamos calcular o limite quando n → ∞ , lembrando que a parte em x pode sair do limite

ρ = lim n → ∞ ⁡ 2 x 3 . n n + 1 = 2 x 3 lim n → ∞ ⁡ n n + 1

Podemos aplicar a regra de L’Hôpital para resolver aquele limite

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 1 = 1

E agora nossa série será convergente se ρ < 1

ρ = 2 x 3 lim n → ∞ ⁡ n n + 1 ⏝ = 1 = 2 x 3 < 1

Beleza?

Então

2 x 3 < 1

x < 3 2

Encontramos portanto nosso raio de convergência!

R = 3 2

Passo 3

Agora nossa missão é identificar o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades! Partindo do raio de convergência

x < 3 2

- 3 2 < x < 3 2

Encontramos nosso intervalo:

I c :   - 3 2 < x < 3 2

Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de x :

x = - 3 2 ,   x = 3 2

Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto.

Passo 4

Para o primeiro valor de x , com x = - 3 2 , nossa série de potências

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n x n n   3 n

Fica assim

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n n   3 n - 3 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n + 1 n = - ∑ n = 0 ∞ 1 n

Temos uma série harmônica, portanto divergente. Nesse extremo nosso intervalo é aberto

Agora vamos testar com x = 3 2 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n n   3 n 3 2 n

Fica assim

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n

Temos uma série alternada do tipo ∑ - 1 n + 1 a n !

O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:

1º) lim n → ∞ ⁡ a n = 0

2º)   a n + 1 < a n

Nossa série tem a n = 1 n , portanto lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0 , ok! Primeiro critério satisfeito! Agora o segundo

a n + 1 = 1 n + 1 < 1 n = a n

Oba! Nossa série converge no extremo superior! Então ali o intervalo é fechado

Passo 5

Recapitulando, nossa série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n x n n   3 n

Achamos o raio de convergência

x < 3 2 = R

E intervalo com um extremo aberto e outro fechado:

I c = ( - 3 2 , 3 2 ]

Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?

Resposta

I c = ( - 3 2 , 3 2 ]

R = 3 2

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