Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada

d )   ∑ n = 1 ∞ x n 2 n n

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem por aí?? Precisamos descobrir o raio e o intervalo de convergência dessa série de potências aqui

∑ n = 1 ∞ x n 2 n n

Mas você lembra como encontrar?

Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar o teste da Razão para Convergência Absoluta!

Ele nos diz que: supondo uma série de potências do tipo

∑ n = 0 ∞ a n x n

Dizemos que ela é convergente se

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x < 1

Então a ideia aqui é determinar esse limite e verificar para quais valores de x isso acontece!

Desse resultado vamos obter o raio de convergência! Nosso raio será x < R !

E agora o que fazer para determinar o intervalo?

Para achar o intervalo vamos testar na série de potência os valores dos extremos encontrado por nós!

x < R

- R < x < R

x ! Caso contrário, dizemos que o intervalo é aberto!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 1 ∞ x n 2 n n

Nosso termo geral é

a n = x n 2 n n

Agora fazendo n → n + 1 temos

a n + 1 = x n + 1 2 n + 1 n + 1 = x n . x 2 n . 2 n + 1

Tranquilo até aqui?

Agora vamos determinar a razão a n + 1 a n e avaliar no limite quando n → ∞

a n + 1 a n = x n . x 2 n . 2 n + 1 .   2 n n x n   = n n + 1 . x 2

Agora vamos calcular o limite

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 . x 2

A parte dependente de x pode sair do limite, ficamos apenas com a parte em n

ρ = x 2 lim n → ∞ ⁡ n n + 1

Beleza?

Aplicando a Regra de L’Hôpital no limite temos (lembrando que o limite pode ir para dentro da raiz e aplicarmos L’Hôpital lá)

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 1 = 1

Então nosso limite converge! Ótima notícia!

Relembrando dos critérios para a convergência

Dizemos que a série converge absolutamente quando

ρ = x 2 lim n → ∞ ⁡ n n + 1 ⏝ = 1 = x 2 < 1

Então

x 2 < 1 → x < 2

Encontramos portanto nosso raio de convergência!

R c = 2

Passo 3

Agora nossa missão é identificar o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades! Partindo do raio de convergência

x < 2

- 2 < x < 2

Encontramos nosso intervalo:

I c :   - 2 < x < 2

Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de x :

x = - 2 ,   x = 2

Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto.

Passo 4

Passo 5

Para o primeiro valor de x , com x = - 2 , nossa série de potências

∑ n = 1 ∞ x n 2 n n

Fica assim

∑ n = 1 ∞ x n 2 n n = ∑ n = 1 ∞ - 2 n 2 n n = ∑ n = 1 ��� - 1 n n

Temos uma série alternada do tipo ∑ - 1 n a n !

O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:

1º) lim n → ∞ ⁡ a n = 0

2º)   a n + 1 < a n

Nossa série tem a n = 1 n , portanto lim n → ∞ ⁡ 1 n   = 0 , ok! Primeiro critério satisfeito! Agora o segundo

a n + 1 = 1 n + 1 < 1 n = a n

Oba! Nossa série converge no extremo inferior! Então ali o intervalo é fechado

Agora vamos testar com x = 2

∑ n = 1 ∞ x n 2 n n = ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 n n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

E agora, será que converge?

Lembrando dos tipos de séries que vimos, a que mais se parece é com a p-série! Dizemos que é do tipo p-série quando podemos escrever ∑ 1 n p , se p > 1 então a série converge. Se não, diverge! Nossa série

∑ n = 1 ∞ 1 n → p = 1 2 < 1

Concluímos que é uma série divergente! Então nesse extremo o intervalo é aberto!

Passo 6

Recapitulando, nossa série:

∑ n = 1 ∞ x n 2 n n

Achamos o raio de convergência

x < 2 = R

E intervalo com o extremo inferior fechado, e o superior aberto

I c = [ - 2,2 )

Tranquilo? É isso! Partiu treinar mais?

Resposta

I c = [ - 2,2 )

R = 2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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