Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potência a seguir:

b ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 x - 2 n √ 3 n  

Passo 1

Opa pessoal, aqui quem fala é o Rodolpho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Bem, aqui temos uma questão bem padrão de séries de potência.

Para responder essa questão precisamos analisar o raio de convergência da série, esse é um parâmetro bem importante.

Aqui temos uma questão relativamente fácil, o problema é resolver a formulinha que vem a seguir.

Para calcular o raio de convergência vamos precisar da seguinte formulinha:

1 R = a n + 1 a n  

Iae sacou? Podemos começar a colocar a mão na massa? As coisas ficam mais concretas do que apenas ficar falando.

Passo 2

Primeiramente, precisamos calcular o módulo do termo a n da série, então vamos lá:

a n = - 1 n - 1 √ 3 n = 1 √ 3 n

Agora vamos calcular o termo a n + 1

a n + 1 = - 1 n + 1 - 1 3 ( n + 1 ) = 1 3 ( n + 1 )

Agora precisamos verificar a seguinte inequação:

a n + 1 a n = 1 3 ( n + 1 ) * √ 3 n 1 = 3 n 3 n + 1

Logo temos que:

1 R = a n + 1 a n = 3 n 3 n + 1     = 3 n n ( 3 + 1 n ) = 1  

Portanto temos que:

R = 1 1

Desfazendo o módulo, temos que:

- 1 < x - 2 < 1

Gerando:

1 < x < 3

Passo 3

Agora que já calculamos o raio de convergência precisamos apenas analisar os extremos, logo:

Fazendo x = 1 , temos que:

∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 x - 2 n 3 n   = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 1 - 2 n 3 n   = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 - 1 n 3 n  

Rearranjando temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 2 n - 1 √ 3 n  

Como temos que - 1 2 n - 1 então os valores de 2 n - 1 são só valores ímpares, portanto temos que - 1 2 n - 1 = - 1 , logo:

∑ n = 0 ∞ - 1 √ 3 n  

Que é uma p-série divergente, pois p < 2 .

Passo 4

Agora vamos calcular x = 3 , gerando a seguinte série:

∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 x - 2 n 3 n   = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 3 - 2 n 3 n   = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 1 n 3 n  

Gerando a seguinte série:

∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 3 n  

Para examinar a convergência vamos precisar dos critérios das séries alternadas. O critério fala que uma série alternada convergente, segue duas características:

  1. a n + 1 < a n
  2. a n = 0  

Vamos calcular o (1) primeiro, sendo assim:

a n = - 1 n - 1 √ 3 n = 1 √ 3 n

Consequentemente temos:

a n + 1 = 1 3 ( n + 1 )

Analisando temos que conforme n aumente o denominador de a n + 1   aumenta, consequentemente temos que:

a n + 1 < a n

O segundo ponto precisamos calcular o seguinte limite:

a n =   1 √ 3 n = 0  

Que é uma série convergente, pelo critério das séries alternadas. Portanto, o 3 é incluído no intervalo de convergência.

Resposta

1 < x ≤ 3

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n