Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potência a seguir:

b ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! x n  

Passo 1

Opa pessoal, aqui quem fala é o Rodolpho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Bem, aqui temos uma questão bem padrão de séries de potência.

Para responder essa questão precisamos analisar o raio de convergência da série, esse é um parâmetro bem importante.

Aqui temos uma questão relativamente fácil, o problema é resolver a formulinha que vem a seguir.

Para calcular o raio de convergência vamos precisar da seguinte formulinha:

1 R = a n + 1 a n  

Iae sacou? Podemos começar a colocar a mão na massa? As coisas ficam mais concretas do que apenas ficar falando.

Então vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos calcular o módulo do termo a n da série, então vamos lá:

a n = - 1 n n ! = 1 n !

Agora vamos calcular o termo a n + 1

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) ! = 1 n + 1 ! = 1 n + 1 n !

Agora precisamos verificar a seguinte inequação:

a n + 1 a n = 1 n + 1 n ! * n ! = 1 n + 1

Logo temos que:

1 R = a n + 1 a n = 1 n + 1     = 1 n + 1 = 0  

Portanto temos que o raio de convergência é:

R = ∞

Desfazendo o módulo, temos que:

- ∞ < x < ∞

Resposta

- ∞ < x < ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n