4. Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potencias a seguir:

e) ∑ n = 1 ∞ n x - 2 n

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que determinar o raio de convergência e intervalo de convergência de uma serie de potência dada por ∑ n = 1 ∞ n x - 2 n .

A ideia é simples, não é?

Mas como podemos obter esses resultados?? 🤔

Nesses casos, podemos usar o teste da razão para obter as singularidades que fazem a série convergir.

Entendeu? Vamos partir para os cálculos! 😎

Passo 2

Lembrando que o teste da razão nos diz que se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n for menor que 1 , a n converge.

Portanto se a n for dado por n x - 2 n , então

a n + 1 = n + 1 x - 2 n + 1

Substituindo no limite, temos

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 2 n + 1 n x - 2 n

Podemos reescrever x - 2 n + 1 como x - 2 n x - 2 , concorda? Então vamos obter

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 2 n x - 2 n x - 2 n

Dessa forma, podemos cortar x - 2 n do numerador com o denominador, não é?

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 2 n

lim n → ∞ ⁡ n x - 2 + x - 2 n

Reescrevendo a fração como

lim n → ∞ ⁡ n x - 2 n + x - 2 n

lim n → ∞ ⁡ x - 2 + x - 2 n

Portanto, quando n tende ao infinito x - 2 n tende a 0 já que temos um número pequeno sendo dividido por um número muito alto.

lim n → ∞ ⁡ x - 2 + x - 2 n = x - 2 + 0

lim n → ∞ ⁡ x - 2 + x - 2 n = x - 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Como vemos no início do passo 2, o limite de lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n deve ser menor que 1 para a n convergir, então

x - 2 < 1

Como x - 2 está em módulo, podemos dizer que x - 2 pode estar entre 1 e - 1 , ou seja

- 1 < x - 2 < 1

Somando 2 em todos os lados, temos

- 1 + 2 < x - 2 + 2 < 1 + 2

1 < x < 3

Assim encontramos o intervalo de convergência!

Agora para obter o raio de convergência olhamos para a n e vemos que x está centrado em 2 ∑ n = 1 ∞ n x - 2 n

Então se x varia entre 1 e 3 , o raio de convergência é R = 1 já que 1 - 2 = - 1 e 3 - 2 = 1 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

R = 1 , intervalo de convergência: 1 < x < 3  

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n