4. Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potencias a seguir:

f) ∑ n = 1 ∞ x n 2 n n

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Para esse problema, foi dada uma série de potência ∑ n = 1 ∞ x n 2 n n em que podemos chamar a sequência dessa série de a n dada por a n = x n 2 n n .

A partir dessa série temos que obter o raio de convergência e o intervalo de convergência.

E aí? Tem ideia de como obter isso? 🤔🤔

Nesses casos, temos que usar o teste da razão para obter o intervalo de convergência e com isso, obter o raio de convergência.

Entendeu? Bora começar! 😉

Passo 2

O teste da razão nos diz que se o limite dado por lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n for menor que 1 , significa que a n converge.

Então usamos essas informações para definir valores de x que faça essa inequação ser satisfeita.

Como vimos no passo 1, a n = x n 2 n n , então a n + 1 é dado por

a n + 1 = x n + 1 2 n + 1 n + 1

Substituindo no teste da razão, temos

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 2 n + 1 n + 1 x n 2 n n

Podemos reescrever x n + 1 como x n x e 2 n + 1 como 2 n 2 , concorda?

lim n → ∞ ⁡ x n x 2 n 2 n + 1 x n 2 n n

Multiplicando os meios pelos extremos, vamos obter

lim n → ∞ ⁡ x n x 2 n 2 n + 1 · 2 n n x n

Dessa forma, podemos simplificar x n e 2 n do numerador e do denominador

lim n → ∞ ⁡ x n 2 n + 1

Também podemos reescrever x n 2 n + 1 como x 2 n n + 1 e como a b é igual a a b , então

lim n → ∞ ⁡ x 2 n n + 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Dividindo o numerador e o denominador de n n + 1 por n , vamos obter

lim n → ∞ ⁡ x 2 n / n n / n + 1 / n = lim n → ∞ ⁡ x 2 1 1 + 1 / n

Por fim, substituindo n por

lim n → ∞ ⁡ x 2 1 1 + 1 / n = x 2 1 1 + 1 / ∞

Assim, sabemos que 1 / ∞ resulta em 0 já que uma constante dividida por um número muito grande tende a 0 .

lim n → ∞ ⁡ x 2 1 1 + 1 / n = x 2 1 1 + 0 = x 2 1

Ou seja, o limite obtido pelo teste da razão é dado por

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = x 2

Como o resultado deve ser menor que 1 para a n convergir, então

x 2 < 1

Como x 2 está em módulo, então x 2 pode variar entre 1 e - 1

- 1 < x 2 < 1

Para isolar x no meio das inequações, vamos multiplicar todas as partes por 2

- 1 · 2 < x 2 · 2 < 1 · 2

- 2 < x < 2

Assim obtemos o intervalo de convergência - 2,2 .

Agora para obter o raio de convergência, vamos olhar para x em a n .

Como x está centrado em 0 já que x - a n nos diz onde x está centrado e a = 0 .

Dessa forma, se x varia de - 2 a 2 então o raio de convergência é igual a 2 .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

R = 2 , intervalo de convergência: - 2 < x < 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n