Determine, justificando, todos os valores de x ∈ R para os quais a série ∑ n = 0 ∞ n ! x n ² é convergente.

Passo 1

Amigx, temos que mostrar quando essa coisa é convergente e você sabe que temos váaaarios testes pra testar (HUE) se a série é convergente ou não. Quando a série envolve n ! , muitas vezes o teste da razão para a série em módulo costuma ajudar. Vamos testar!

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n   →   lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! x n + 1 2 n ! x n 2 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 x n 2 + 2 n + 1 x n 2 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1

Vamos estudar agora os casos do x .

Passo 2

Se x ≥ 1 :

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 = ∞

Ou seja, a série diverge.

Passo 3

MAAAS, se | x |

Vou escrever da seguinte maneira pra aplicar L’Hôpital (é análogo):

lim n → ∞ ⁡ n + 1 e - ( 2 n + 1 ) l n ⁡ | x |

Aplicando L’Hôpital (derivando no numerador e denominador com respeito a n :

lim n → ∞ ⁡ 1 - 2 ln ⁡ x e - 2 n + 1 ln ⁡ x = 0

Ou seja, a série é absolutamente convergente, pois o seu módulo é convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente para x < 1 e divergente para x ≥ 1 .

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n