Determine o raio de convergência da série

∑ k = 1 ∞ k x k

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós queremos achar o raio de convergência da seguinte série de potências

∑ k = 1 ∞ k x k

Primeiro, o que é o raio de convergência? É um conjunto que estabelece um intervalo para x tal que a série acima é convergente! Então, vamos procurar algum teste que determine a convergência e usar isso para determinar o nosso raio de convergência! Bora lá!

Passo 2

Um teste que comumente é bastante útil para determinar raios de convergência é o teste da razão, o teste da razão é tal que

L   =   l i m k → ∞ | a k + 1 a k |

em que as condições de convergência são: para L < 1 a série é absolutamente convergente, para L > 1 , ou L = ∞ a série é divergente, e para L = 1 , o teste é inconclusivo! Temos que o nosso a k é dado por

a k = k x k

e, também temos que

a k + 1 = k + 1 x k + 1

Portanto, precisamos resolver o seguinte limite

L   =   l i m k → ∞ | k + 1 x k + 1 k x k |

Vamos começar a reescrever o nosso limite! Bora lá!

Passo 3

Primeiro, vamos usar que x k + 1 = x k x 1 , temos então que

l i m k → ∞ | k + 1 x k + 1 k x k | = l i m k → ∞ | x k x 1 x k k + 1 k | = l i m k → ∞ | x 1 + 1 k |

Como a variável do limite é k , temos que

l i m k → ∞ | x 1 + 1 / k | = | x | l i m k → ∞ 1 + 1 k

Avaliando o limite, temos que

l i m k → ∞ | x 1 + 1 / k | = | x | 1 + 1 ∞ = | x | 1 + 0

Ou seja, temos que o nosso limite é

L = | x |

Agora, precisamos avaliar as condições sob as quais a série será convergente! Bora lá!

Passo 4

Nós precisamos pelas condições do teste da razão, que L < 1 , portanto, temos a seguinte desigualdade

| x | < 1

Como esta é a função módulo, ela toma valores de x e nos devolve o seu valor positivo, portanto, não só os valores devem ser menores que 1 , eles também devem obedecer a desigualdade

- 1 < x < 1

Ou seja, por enquanto, temos que o intervalo de convergência é tal que

I = ( - 1,1 )

No entanto, ainda não podemos dizer se os extremos x = - 1 e x = 1 fazem parte do conjunto. Temos que avaliar eles independentemente! Vamos lá!

Passo 5

Para x = 1 , temos que

∑ k = 1 ∞ k x k = ∑ k = 1 ∞ k

se aplicarmos o teste da divergência, temos que

L = l i m k → ∞ k = ∞

Como o limite é L ≠ 0 , a série é divergente, então o elemento x = 1 não faz parte do intervalo do raio de convergência! Vamos testar o outro intervalo agora!

Passo 6

Usando que x = - 1 , temos que

∑ k = 1 ∞ k x k = ∑ k = 1 ∞ ( - 1 ) k k

Essa é uma série alternada! Para uma série alternada ser convergente é necessário que seus termos sejam decrescentes e que o limite

l i m k → ∞ a k = 0

Nenhuma das condições são válidas! Portanto, a série acima é divergente! Ou seja, x = - 1 também não pertence ao intervalo do raio de convergência, ou seja, o intervalo de convergência é

I = ( - 1,1 )

e o raio de convergência é r = 1 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

r = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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