Determine o raio de convergência da série

∑ k = 1 ∞ k k x k

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós queremos achar o raio de convergência da seguinte série de potências

∑ k = 1 ∞ k k x k

Primeiro, o que é o raio de convergência? É um conjunto que estabelece um intervalo para x tal que a série acima é convergente! Então, vamos procurar algum teste que determine a convergência e usar isso para determinar o nosso raio de convergência! Bora lá!

Passo 2

Para séries que tem os coeficientes elevados pela variável somada, ou seja, em nosso caso k , é conveniente usar o teste da raiz, que nos diz que

L   =   l i m k → ∞ | a k | k

Se temos que L < 1 , a série converge absolutamente, se L > 1 , a série não converge, se L = 1 , nada se pode concluir. O nosso limite toma então a seguinte forma

L   =   l i m k → ∞ | k k x k | k

note que podemos escrever a relação modular como | k k x k | = | k x | k , já que o módulo elimina qualquer sinal de menos que poderia aparecer, e o k é sempre positivo! O expoente k pode ser simplificado pela raiz k - é s i m a , para obtermos

L   =   l i m k → ∞ | k k x k | k = l i m k → ∞ | k x |

Vamos terminar alguns detalhes que faltam! Saca só!

Passo 3

Como temos que a variável do limite é k , temos que o limite se torna

L   = | x | l i m k → ∞ | k | = | x | ∞

ou seja, temos que L = ∞ , portanto, não existe valor de x para o qual esta série seja convergente e o raio de convergência é r = 0 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

r = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n