13 - Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:

e) ∑ n = 0 ∞ x - 2 n 10 n

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada uma série de potência e nosso objetivo é calcular o raio e o intervalo de convergência.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Genericamente, uma série de potência é dada por

∑ n = 0 ∞ a n f x n

Para determinar seu raio e intervalo de convergência temos que analisar a função f x e verificar para quais valores de x temos que f x < 1

Nos limites do intervalo de convergência temos que analisar cada serie separadamente para verificar se tal série formada converge ou diverge...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ n = 0 ∞ x - 2 n 10 n

Pelo que podemos analisar, f x = x - 2 e portanto, para f x < 1 , temos que o intervalo de convergência é dado por

x - 2 10 < 1

- 1 < x - 2 10 < 1

- 10 < x - 2 < 10

- 8 < x < 12

A partir desse intervalo de convergência, vemos que como está centrado na origem, o raio de convergência é

R = 12 - - 8 2

R = 10

Para saber se os limites do intervalo fazem parte do intervalo de convergência, temos que analisar cada caso separadamente...

Nesse caso, para x = - 8 , temos que pelo teste da divergência.

∑ n = 0 ∞ - 8 - 2 n 10 n = ∑ n = 0 ∞ - 10 n 10 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 10 n 10 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n = D i v e r g e

Agora quanto x = 12 podemos perceber que a série diverge pelo teste da divergência.

∑ n = 0 ∞ 12 - 2 n 10 n = ∑ n = 0 ∞ 10 n 10 n = ∑ n = 0 ∞ 1 = D i v e r g e

Logo, o intervalo de convergência é dado por

- 8 < x < 12

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

R = 10

- 8 < x < 12

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
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