13 - Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:

h) ∑ n = 0 ∞ - 1 n x + 2 n n

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada uma série de potência e nosso objetivo é calcular o raio e o intervalo de convergência.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Genericamente, uma série de potência é dada por

∑ n = 0 ∞ a n f x n

Para determinar seu raio e intervalo de convergência temos que analisar a função f x e verificar para quais valores de x temos que f x < 1

Nos limites do intervalo de convergência temos que analisar cada serie separadamente para verificar se tal série formada converge ou diverge...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ n = 0 ∞ - 1 n x + 2 n n

Pelo que podemos analisar, f x = x + 2 e portanto, para f x < 1 , temos que o intervalo de convergência é dado por

x + 2 < 1

- 1 < x + 2 < 1

- 3 < x < - 1

A partir desse intervalo de convergência, vemos que como está centrado na origem, o raio de convergência é

R = - 1 - - 3 2

R = 1

Para saber se os limites do intervalo fazem parte do intervalo de convergência, temos que analisar cada caso separadamente...

Nesse caso, para x = - 3 , temos que pelo teste das series alternadas.

∑ n = 0 ∞ - 1 n - 3 + 2 n n = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n n = D i v e r g e

Agora quanto x = - 1 podemos perceber que a série converge pelo teste das series alternadas.

∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 + 2 n n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 n n = C o n v e r g e   C o n d i c i o n a l m e n t e

Logo, o intervalo de convergência é dado por

- 3 < x ≤ - 1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

R = 1

- 3 < x ≤ - 1

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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