13 - Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:

q) ∑ n = 0 ∞ n x + 3 n 5 n

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada uma série de potência e nosso objetivo é calcular o raio e o intervalo de convergência.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Nesse caso, como temos um expoente de n no denominador, para determinar o raio e o intervalo de convergência temos que aplicar o teste da razão.

O teste da razão de uma série ∑ n = 0 ∞ a n consiste em calcular o limite de a n + 1 a n , ou seja

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Para a série convergir, o resultado do limite tem que ser menor que 1 dessa forma vamos obter uma função de x em um intervalo numérico e esse intervalo resulta no intervalo de convergência da série.

Nas bordas do intervalo temos que analisar separadamente para observar se há convergência.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ n = 0 ∞ n x + 3 n 5 n

Aplicando o teste da razão chegamos em

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x + 3 n + 1 5 n + 1 · 5 n n x + 3 n

Simplificando...

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x + 3 n · x + 3 5 n · 5 · 5 n n x + 3 n

lim n → ∞ ⁡ n + 1 · x + 3 5 · 1 n

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x + 3 5 n

Dividindo o numerador e o denominador por n + 1

lim n → ∞ ⁡ x + 3 5 n n + 1

Agora na fração 5 n n + 1 dividimos tudo por n

lim n → ∞ ⁡ x + 3 5 n n n n + 1 n

lim n → ∞ ⁡ x + 3 5 1 + 1 n

Fazendo n → ∞ , chegamos em

lim n → ∞ ⁡ x + 3 5 1 + 1 n = x + 3 5

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Como esse resultado tem que ser maior que 1 para a série convergir, temos

x + 3 5 < 1

- 1 < x + 3 5 < 1

- 5 < x + 3 < 5

- 8 < x < 2

Dessa forma, o raio de convergência é dado por

R = 2 - - 8 2

R = 5

Para os limites do intervalo de convergência, temos que analisar separadamente se eles entram ou não no intervalo...

Para x = - 8 , temos que diverge pelo teste da divergência.

∑ n = 0 ∞ n - 8 + 3 n 5 n = ∑ n = 0 ∞ n - 5 n 5 n = ∑ n = 0 ∞ n - 1 n 5 n 5 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n = D i v e r g e

Agora para x = 5 podemos ver que diverge pelo teste da razão

∑ n = 0 ∞ n 5 + 3 n 5 n = ∑ n = 0 ∞ n 8 n 5 n = D i v e r g e

Com isso, o intervalo de convergência é dado por

- 8 < x < 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

R = 5

- 8 < x < 2

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