A expressão em série de potência em torno do ponto 0 da função

f x = x 1 - x 2

É dada por ∑ n = 0 ∞ _ x n

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função aqui

f x = x 1 - x 2

E pediu para expressarmos essa função como uma série de potências

Mas como fazer isso?

Estamos falando daquelas séries de potências chave que aprendemos! A ideia aqui é dar uma espiada nessas séries e ver se podemos fazer uma correspondência entre elas! E assim vamos ter nossa representação da função em séries!

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A função dada foi essa aqui

f x = x 1 - x 2

E vamos procurar no nosso catálogo de representação de funções em séries, qual se aproxima:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !  

s e n x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

E assim por diante... note que essas séries saem da definição

f x = ∑ n = 0 ∞ f ' n a n ! x - a n

Se nossa função se parecer com alguma dessas que já está pronto, ótimo! Caso contrário, precisamos aplicar essa recorrência aí para descobrir a cara da nossa série, beleza?

A gente não pode reescrever a função dada assim

f x = x   . 1 1 - x 2

Tudo bem até aqui?

Você vê que nossa função é do tipo

~ 1 1 - x 2

E qual será a derivada da função 1 1 - x ? Eu te respondo, é essa aqui: 1 1 - x 2 ! E o que isso reflete na série? Precisamos derivar ela!

∑ n = 0 ∞ x n → ⏝ d e r i v a n d o   e m   x :     ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 = 1 1 - x 2

Tranquilo até aqui?

Agora, saindo dessa série, precisamos adequar para nossa função! é #partiu personalizar nossa série!

Passo 3

A série que estamos comparando é

∑ n = 1 ∞ n x n - 1 = 1 1 - x 2

E nossa função

f x = x   . 1 1 - x 2

Vamos multiplicar a série comparativa por x para poder chegar na expressão certinha da nossa função:

x ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 = x . 1 1 - x 2 = x 1 - x 2

E está aí nossa série! Podemos ainda colocar aquele x para dentro do somatório (juntando os expoentes) e ter uma expressão super bonitinha para nossa função em séries de potência

∑ n = 1 ∞ n x n - 1 + 1 = ∑ n = 1 ∞ n x n = x 1 - x 2

Belezinha?

Mas calma que ainda não terminou! Para dar a resposta certinha que o problema pede, ele diz para completarmos a série

∑ n = 0 ∞ _ _   x n

Então o coeficiente que está faltando ali para que seja exatamente igual ao nosso resultado é o n !

∑ n = 0 ∞ n . x n

Obs.: aqui não importa de a série começou em 0 , pois o primeiro termo seria zero e o primeiro termo não nulo seria com n = 1 , fica no mesmo!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

n

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n