A função cos ⁡ x pode ser escrita como série de potências com raio de convergência infinito. Ache a série de potências desta função em torno de 0.

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!

A função cosseno pode ser escrita como série de potências, mas como assim?

Na verdade, qualquer função pode! É a série de Maclaurin

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

E esse aqui é o pulo do gato!

Precisamos achar uma forma fechada para a n-ésima derivada da função f ( x ) no ponto x = 0 e jogar ali! Essa será nossa série de potências!

Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar pegando a função f x = cos ⁡ x e derivando repetidas vezes (aplicando em zero depois) para ver algum padrão

f x = cos ⁡ x ,   f 0 = 1

f ' x = - sin ⁡ x ,   f ' 0 = 0

f ' ' x = - cos ⁡ x ,   f ' ' 0 = - 1

f ' ' ' x = sin ⁡ x ,   f ' ' ' 0 = 0

f ' ' ' ' x = cos ⁡ x ,   f ' ' ' ' 0 = 1

Tranquilo até aqui?

Repara que na quarta derivada a gente retorna ao cosseno, indicando um padrão a partir daí! Então primeiro passo concluído: padrão!

Tudo bem até aqui?

Todo termo ímpar é zero, assim

f 2 n 0 = 0

+ 1 , ora - 1

f 2 n 0 = - 1 n

Beleza?

Passo 3

Mas e agora? Podemos montar nossa série!

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Só temos termos pares então

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 n ) ! x 2 n

Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 n ) ! x 2 n

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n